Почему простое среднее обманывает
Магазин поднял цену свитера на 50%, а через месяц объявил скидку 50%. Свитер стоил 4 000 ₽, после наценки — 6 000 ₽, после скидки — 3 000 ₽. Плюс пятьдесят и минус пятьдесят процентов в сумме дают ноль, но свитер теперь на тысячу дешевле, чем был в начале.
С вложениями происходит то же самое. Иван положил на брокерский счёт 100 000 ₽. За первый год портфель вырос на 50%, до 150 000 ₽, за второй упал на 50%, до 75 000 ₽. Если сложить доходности и разделить на два, выйдет «средняя доходность 0% в год». А денег стало на четверть меньше.
Всё дело в том, от какой суммы считают проценты. Рост на 50% считали от 100 000 ₽ и получили 50 000 ₽ прибыли. Падение на 50% считали уже от 150 000 ₽, и оно забрало 75 000 ₽. Проценты одинаковые, а рубли разные.
Доходность — это то, на сколько процентов выросли или уменьшились деньги за период. «Средняя доходность» звучит как одно число, но посчитать её можно несколькими способами, и ответы получатся разные. Для Ивана честный ответ такой: если бы портфель каждый год менялся на одну и ту же величину и пришёл к тем же 75 000 ₽, эта величина была бы около −13,4% в год. Как её найти, разберём по шагам.
Среднее арифметическое
Это то самое среднее из школы: сложить все значения и разделить на их количество. Так считают средний рост учеников в классе или среднюю температуру за неделю.
Среднее арифметическое = (r₁ + r₂ + … + rₙ) / n
Здесь r — доходность за каждый год, а n — число лет.
Возьмём условный портфель Марии за четыре года: +20%, −10%, +15% и +5%. Среднее арифметическое: (20 − 10 + 15 + 5) / 4 = 7,5% в год.
На вопрос «чего ждать от одного года, если он будет похож на прошлые» это число отвечает неплохо. Так же считают ожидаемую доходность, когда рассчитывают волатильность: от этого среднего потом меряют разброс.
Для итога за несколько лет оно не годится. Если умножить 100 000 ₽ на 1,075 четыре раза, получится около 133 547 ₽. На деле у Марии 130 410 ₽: 100 000 × 1,20 × 0,90 × 1,15 × 1,05. Среднее арифметическое пообещало на 3 137 ₽ больше, чем было на самом деле. Чем длиннее срок, тем дальше расходятся эти суммы.
Есть случай, когда среднее арифметическое не ошибается. Возьмём вклад под 12% годовых с ежегодной капитализацией, то есть проценты раз в год прибавляются к вкладу и дальше работают вместе с ним. Каждый год сумма растёт ровно на 12%, среднее арифметическое тоже 12%, и 100 000 ₽ через три года превращаются в 100 000 × 1,12³ ≈ 140 493 ₽, как и обещано. Когда доходность из года в год одинаковая, все способы усреднения дают одно число. Расходятся они, только когда результаты скачут.
Среднее геометрическое и CAGR
Вспомните поездку на машине. Четыре часа в дороге: где-то 110 км/ч по трассе, где-то полчаса в пробке. Средняя скорость — это постоянная скорость, с которой вы проехали бы то же расстояние за то же время. Среднее геометрическое отвечает на похожий вопрос для денег: какой одинаковый годовой процент привёл бы к тому же итогу.
Деньги растут умножением, поэтому доходности переводят в множители (+20% — это ×1,20, −10% — это ×0,90) и перемножают, ровно как это происходит на счёте.
Среднее геометрическое = ((1 + r₁) × (1 + r₂) × … × (1 + rₙ))^(1/n) − 1
Если известны только сумма в начале и в конце, формула короче. Это и есть CAGR, совокупный среднегодовой темп роста (от англ. compound annual growth rate):
CAGR = (Конечная сумма / Начальная сумма)^(1/n) − 1
Степень 1/n — это корень n-й степени. Обе формулы дают одно и то же, если за это время деньги на счёт не докладывали и не снимали. Внутри обеих работает сложный процент: каждый год доходность начисляется на уже выросшую сумму.
Посчитаем для Марии по шагам.
- Переводим доходности в множители: +20% → 1,20; −10% → 0,90; +15% → 1,15; +5% → 1,05.
- Перемножаем: 1,20 × 0,90 × 1,15 × 1,05 = 1,3041. Капитал вырос в 1,3041 раза, со 100 000 до 130 410 ₽.
- Извлекаем корень четвёртой степени, потому что лет четыре: 1,3041^(1/4) ≈ 1,0686.
- Вычитаем единицу: 1,0686 − 1 = 0,0686, то есть 6,86% в год.
Проверка: 100 000 × 1,0686⁴ ≈ 130 395 ₽. Это те же 130 410 ₽ с точностью до округления ставки. Среднее арифметическое у Марии было 7,5%, геометрическое — 6,86%. Разница меньше процента в год, но с деньгами на самом деле случилось именно 6,86%.
Найденную ставку можно подставить в калькулятор сложного процента и посмотреть, во что при таком темпе вырастет сумма через 10 или 20 лет. Как устроен этот расчёт, разобрано в статье о будущей стоимости.
Расчёт в Excel
Допустим, доходности Марии записаны в ячейки B2:B5 в процентном формате: 20%, −10%, 15% и 5%. В соседнем столбце посчитайте множители: в C2 формула =1+B2, дальше протяните её вниз до C5.
| Что считаем | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Среднее арифметическое | =СРЗНАЧ(B2:B5) | 7,5% |
| Среднее геометрическое | =СРГЕОМ(C2:C5)-1 | 6,86% |
| CAGR по суммам | =(130410/100000)^(1/4)-1 | 6,86% |
| CAGR готовой функцией | =ЭКВ.СТАВКА(4;100000;130410) | 6,86% |
| Медиана | =МЕДИАНА(B2:B5) | 10% |
Роль волатильности
Волатильность — это разброс доходностей вокруг среднего. Чем сильнее результаты скачут от года к году, тем она выше. Считают её через стандартное отклонение: это число показывает, насколько в среднем результаты отходят от своего среднего значения.
Падение бьёт по капиталу сильнее, чем такой же по размеру рост. После −10% нужно +11,1%, чтобы вернуться к исходной сумме. После −20% нужно уже +25%, после −50% — все +100%. Причина та же, что у свитера: рост считают от уже уменьшившейся суммы.
Сравним две условные стратегии. У обеих среднее арифметическое — 10% в год.
- Спокойная: +8%, +12%, +8%, +12%. Среднее геометрическое — 9,98% в год, 100 000 ₽ за четыре года превращаются в 146 313 ₽.
- Нервная: +40%, −20%, +40%, −20%. Среднее геометрическое — 5,83% в год, итог — 125 440 ₽.
Средние арифметические одинаковые, а итог отличается на 20 873 ₽. Эту разницу целиком съел разброс.
Это математическое правило: среднее геометрическое никогда не бывает больше арифметического. Они равны, только если доходность каждый год одинаковая, как у вклада с постоянной ставкой. Чем выше волатильность, тем больше разрыв между ними. Прикинуть его можно так:
Среднее геометрическое ≈ Среднее арифметическое − σ² / 2
Здесь σ (сигма) — волатильность, то есть стандартное отклонение годовых доходностей, записанное в долях. Формула приближённая. У нервной стратегии σ = 30%, или 0,30: 0,30² / 2 = 0,045. Получаем 10% − 4,5% = 5,5% против точных 5,83%. У спокойной σ = 2%, поправка всего 0,02%, и среднее почти не меняется. Чем сильнее скачут доходности, тем больше ошибается приближение, но для прикидки его хватает.
Вывод простой: если вам показывают среднее арифметическое доходности для актива, который сильно скачет, фактический среднегодовой результат был ниже. Насколько ниже, зависит от разброса.
Медиана и мода
Медиана — это значение посередине, если выстроить все результаты по порядку. Половина лет оказалась лучше медианы, половина — хуже. Когда лет чётное число, посередине стоят два значения, и медианой считают их среднее. Мода — значение, которое встречается чаще других.
Зачем они инвестору? Среднее арифметическое легко сдвинуть одним необычным годом, медиану — гораздо труднее. Возьмём условный фонд, который девять лет подряд приносил по 5%, а в один год удвоил деньги, то есть дал +100%.
Среднее арифметическое — 14,5% в год. Звучит так, будто фонд стабильно приносит двузначную доходность. Медиана — 5%, мода тоже 5%: в обычный год инвестор получал пять процентов. Среднее геометрическое — 12,0%, и 100 000 ₽ за десять лет выросли до 310 266 ₽.
Каждое из этих чисел отвечает на свой вопрос. Медиана — каким был обычный год. Среднее геометрическое — сколько вы заработали в итоге. Среднее арифметическое — чего ждать от одного года, если будущее похоже на прошлое.
Мода для доходностей полезна реже, потому что годовые результаты с точностью до десятой доли процента почти не повторяются. Её ищут, когда доходности разложены по диапазонам: например, сколько лет пришлось на промежуток от 0 до 10%. Самый частый диапазон и будет модой. В Excel медиану считает функция МЕДИАНА, моду — МОДА.ОДН.
Средняя доходность в России
Теперь посчитаем на реальных данных. Мы взяли десять полных календарных лет, с 2016 по 2025 год, и три индекса Московской биржи.
- Индекс МосБиржи (IMOEX) — главный биржевой индекс российских акций, в его базе до 50 бумаг. Он следит только за ценами, дивиденды в него не попадают.
- Индекс МосБиржи полной доходности (MCFTR) — те же акции, но дивиденды в нём как будто сразу реинвестируются, то есть вкладываются обратно в акции.
- Индекс государственных облигаций (RGBITR) — в него входят облигации федерального займа (ОФЗ). Купоны по ним в индексе тоже как будто сразу вкладываются обратно. Его версия без купонов — RGBI.
Инфляцию взяли по данным Банка России: на сколько выросли цены с декабря предыдущего года по декабрь текущего.
| Год | Индекс МосБиржи | MCFTR (с дивидендами) | RGBITR (ОФЗ с купонами) | Инфляция |
|---|---|---|---|---|
| 2016 | +26,8% | +32,8% | +14,8% | 5,4% |
| 2017 | −5,5% | −0,2% | +12,8% | 2,5% |
| 2018 | +12,3% | +19,1% | +2,1% | 4,3% |
| 2019 | +28,6% | +38,5% | +20,0% | 3,0% |
| 2020 | +8,0% | +14,8% | +8,5% | 4,9% |
| 2021 | +15,1% | +21,8% | −4,9% | 8,4% |
| 2022 | −43,1% | −37,3% | +3,7% | 11,9% |
| 2023 | +43,9% | +53,8% | +0,8% | 7,4% |
| 2024 | −7,0% | +1,6% | −2,1% | 9,5% |
| 2025 | −4,0% | +2,9% | +23,1% | 5,6% |
| За 2016–2025 годы | Индекс МосБиржи | MCFTR | RGBITR | Инфляция |
|---|---|---|---|---|
| Среднее арифметическое | +7,5% | +14,8% | +7,9% | 6,3% |
| Среднее геометрическое (CAGR) | +4,6% | +11,9% | +7,5% | 6,3% |
| Медиана | +10,1% | +17,0% | +6,1% | 5,5% |
| Реальная доходность в год (CAGR за вычетом инфляции) | −1,5% | +5,3% | +1,2% | — |
| Во что превратились 100 000 ₽ за десять лет | 157 100 ₽ | 308 600 ₽ | 206 200 ₽ | 183 500 ₽ — столько стоит то, что стоило 100 000 ₽ |
Во всех трёх рядах среднее арифметическое выше геометрического, как и должно быть. Но разрыв разный. У акций он почти три процентных пункта (процентный пункт — это разница между двумя процентами: от 7,5% до 4,6% — 2,9 пункта). У ОФЗ разрыв меньше половины пункта. Причина в волатильности: стандартное отклонение годовых доходностей MCFTR за эти десять лет — около 24%, у RGBITR — около 9%. Приближённая формула здесь сработала почти точно: для MCFTR 0,239² / 2 ≈ 0,029, то есть 2,9 пункта, и 14,8% − 2,9% = 11,9%.
2022 год показывает, как один провал тянет среднее вниз. MCFTR тогда упал на 37,3%, и во многом из-за этого года среднее арифметическое (14,8%) оказалось ниже медианы (17,0%). В пять лет из десяти акции с дивидендами принесли больше 17%.
Разница между Индексом МосБиржи и MCFTR — это дивиденды. 100 000 ₽ в ценовом индексе за десять лет выросли бы до 157 100 ₽, а с дивидендами, которые каждый год вкладывали обратно, — до 308 600 ₽, почти вдвое больше.
Остаётся инфляция. Номинальная доходность показывает рост в рублях, а реальная доходность — на сколько выросло то, что на эти рубли можно купить. Её считают так:
Реальная доходность = (1 + номинальная) / (1 + инфляция) − 1
За десять лет цены выросли в 1,84 раза, в среднем на 6,3% в год. Для MCFTR реальная доходность — 1,1193 / 1,0626 − 1 ≈ 5,3% в год. Ценовой Индекс МосБиржи в реальном выражении ушёл в минус, на 1,5% в год: без дивидендов эти акции за десять лет инфляцию не обогнали. В ценах конца 2015 года 100 000 ₽ в нём превратились в 85 600 ₽. ОФЗ с купонами обогнали инфляцию на 1,2% в год.
Все эти цифры зависят от выбранных дат. Если сдвинуть начало или конец периода, в расчёт попадут другие годы, а разброс между ними большой: среди этих десяти есть и −37,3%, и +53,8%. Прошлая доходность не обещает такую же в будущем.
Доходность портфеля
Портфель — это несколько вложений сразу, и у каждого своя доля. Поэтому его доходность за год считают как средневзвешенную: доходность каждой части умножают на её долю в портфеле и складывают.
Доходность портфеля = w₁ × r₁ + w₂ × r₂ + … + wₙ × rₙ
Здесь w — доля вложения в портфеле, все доли в сумме дают 100%.
Условный пример. У Марии миллион рублей: 600 000 ₽ в акциях и 400 000 ₽ в облигациях. За год акции выросли на 20%, облигации — на 10%. Простое среднее (20 + 10) / 2 = 15% ошиблось бы, потому что акций в портфеле больше и их результат должен весить больше. Средневзвешенное: 0,6 × 20% + 0,4 × 10% = 16%. Проверка в рублях: 120 000 + 40 000 = 160 000 ₽ прибыли на миллион, это и есть 16%.
В Excel это функция СУММПРОИЗВ: если доли записаны в B2:B3, а доходности в C2:C3, формула =СУММПРОИЗВ(B2:B3;C2:C3) перемножит пары и сложит результаты.
За несколько лет порядок такой: сначала считают доходность портфеля за каждый год, потом из этих годовых чисел — среднее геометрическое. Учтите, что доли со временем сдвигаются: то, что росло быстрее, занимает в портфеле всё больше места, если не возвращать доли к исходным. Такой возврат называют ребалансировкой.
Средневзвешенное значение встречается не только в портфеле. Так считают среднюю цену покупки, если акции докупали частями по разной цене, и дюрацию облигаций, то есть средний срок, за который по ним возвращаются деньги. Подробно о средневзвешенном значении — в статье «Средневзвешенное значение».
Что в итоге
- Среднее арифметическое годится как ожидание одного года. Для итога за несколько лет оно завышает результат.
- Среднее геометрическое, оно же CAGR, — это постоянный годовой темп, который приводит к тому же итогу. Если нужно понять, сколько вы заработали, смотрите на него.
- Чем выше волатильность, тем сильнее среднее арифметическое отрывается от геометрического: примерно на половину квадрата волатильности.
- Медиана показывает обычный год, и один выброс её почти не сдвигает.
- По данным Московской биржи и Банка России, за 2016–2025 годы акции с реинвестированными дивидендами (MCFTR) давали в среднем 11,9% в год, или 5,3% сверх инфляции. ОФЗ с купонами (RGBITR) — 7,5% и 1,2%, ценовой Индекс МосБиржи — 4,6% и −1,5%.
- Доходность портфеля считают как средневзвешенную по долям вложений.
