Сложный процент
Автор: Алексей ГорянинОбновлено:Сложный процент — это начисление процентов на вложенную сумму вместе с процентами, начисленными раньше. Для этого доход оставляют работать вместе с основной суммой: на вкладе это называется капитализацией процентов, в инвестициях — реинвестированием купонов и дивидендов. Со временем прирост ускоряется, потому что каждый год проценты начисляются на выросшую сумму.
Сложный процент простыми словами
Первые годы сложный процент почти не отличается от простого, и поэтому его легко недооценить. 100 000 ₽ под 10% годовых через год превращаются в 110 000 ₽ при любом способе начисления. Через пять лет разница между простым и сложным процентом — 11 051 ₽, а через 30 лет — 1 344 940 ₽: простой процент даст 400 000 ₽, сложный — 1 744 940 ₽.
Проценты за первый год прибавляются к вкладу, и во втором году начисляются уже на 110 000 ₽. Каждый год база растёт, и прибавка к ней растёт тоже. Поэтому капитал сначала ползёт почти по прямой, а потом всё круче уходит вверх. На результат влияют ставка и срок, и срок сильнее, чем кажется: в формуле он стоит в степени.
Механизм работает при одном условии: доход нельзя забирать. Если тратить проценты по вкладу, купоны облигаций или дивиденды, сложный процент превращается в простой. И работает он в обе стороны: комиссии, налоги и инфляция тоже накапливаются по сложному проценту и съедают результат тем сильнее, чем длиннее срок.
Чем сложный процент отличается от простого
При простом проценте доход каждый год начисляют на исходную сумму, и капитал растёт по прямой, на одинаковую прибавку. При сложном доход начисляют на сумму вместе с прошлыми процентами, и прибавка сама увеличивается год от года.
Простой процент получается у любого вложения, доход от которого забирают: у вклада с выплатой процентов на карту, у облигации, чьи купоны тратятся, у акций, дивиденды по которым снимают со счёта. Сама бумага или вклад могут быть устроены как угодно, решает то, что вы делаете с доходом.
Для просроченных долгов Гражданский кодекс сложные проценты ограничивает: по статье 395 проценты на проценты за просрочку денежного долга не начисляют, если иное не установлено законом, а в отношениях между предпринимателями — законом или договором.
| Срок | Простой процент | Сложный процент | Разница |
|---|---|---|---|
| 1 год | 110 000 ₽ | 110 000 ₽ | 0 ₽ |
| 5 лет | 150 000 ₽ | 161 051 ₽ | 11 051 ₽ |
| 10 лет | 200 000 ₽ | 259 374 ₽ | 59 374 ₽ |
| 20 лет | 300 000 ₽ | 672 750 ₽ | 372 750 ₽ |
| 30 лет | 400 000 ₽ | 1 744 940 ₽ | 1 344 940 ₽ |
Условный пример: 100 000 ₽ под 10% годовых, при сложном начислении проценты прибавляются раз в год. Налоги и инфляция не учтены.
Капитализация процентов по вкладу: как часто начисляют и что это даёт
На вкладе сложный процент называется капитализацией: начисленные проценты прибавляются к сумме вклада, и дальше проценты идут и на них. Гражданский кодекс делает это правилом по умолчанию: если договор не говорит иное, вкладчик может забрать проценты по итогам каждого квартала, а те, что он не забрал, увеличивают сумму вклада. На практике периодичность прописывают в договоре: раз в месяц, раз в квартал, иногда каждый день.
Чем чаще начисляют проценты, тем выше итог, но прибавка быстро затухает. При 12% годовых капитализация раз в квартал даёт за год 12,55%, раз в месяц — 12,68%, каждый день — 12,75%. Такую годовую доходность с учётом капитализации называют эффективной ставкой, и по ней удобно сравнивать вклады с разными условиями.
Считают эффективную ставку так: (1 + ставка / n)^n − 1, где n — число начислений в год. Вклад под 12,5% с выплатой процентов раз в год проиграет вкладу под 12% с ежемесячной капитализацией, если деньги лежат нетронутыми: 12,5% против 12,68%.
Как сложный процент работает в инвестициях
У облигаций и акций нет пункта о капитализации в договоре. Сложный процент включается, когда купоны и дивиденды вкладывают обратно в бумаги. Доходность при этом не фиксирована и скачет от года к году, но механика та же: доход добавляется к базе и дальше работает вместе с ней.
Масштаб хорошо видно на индексах Московской биржи. Индекс МосБиржи (IMOEX) считают только по ценам акций. Индекс МосБиржи полной доходности «брутто» (MCFTR) состоит из тех же бумаг, но учитывает дивиденды так, будто их сразу реинвестируют. С 23 сентября 2016 года по 25 сентября 2026 года IMOEX вырос в 1,13 раза, а MCFTR — в 2,31 раза. Разница между ними — реинвестированные дивиденды.
Налоги накапливаются по той же логике. Индекс полной доходности «нетто» (MCFTRR) учитывает дивиденды после налога по ставкам для российских организаций, и за те же десять лет он вырос в 2,11 раза. На каждый миллион рублей, вложенный в 2016 году, разница с индексом «брутто» к 2026 году составила около 205 000 ₽: это налог на дивиденды вместе с доходом, который удержанные деньги принесли бы за оставшиеся годы. Комиссии брокера и фонда работают так же: процент в год, который кажется мелочью, на длинном сроке превращается в заметную долю итога.
| Индекс | Что учитывает | Рост за 10 лет | Во что превратился бы 1 млн ₽ |
|---|---|---|---|
| IMOEX | Только цены акций | В 1,13 раза | 1,13 млн ₽ |
| MCFTR | Цены и дивиденды без налога | В 2,31 раза | 2,31 млн ₽ |
| MCFTRR | Цены и дивиденды после налога | В 2,11 раза | 2,11 млн ₽ |
По значениям закрытия индексов Московской биржи 23 сентября 2016 года и 25 сентября 2026 года. Индексы не учитывают комиссии брокера и расходы фондов, поэтому реальный портфель из тех же акций вырос бы меньше.
Сложный процент: формула расчёта
Сложный процент: расчёт по шагам
Условный пример: 100 000 ₽ положили на пять лет под 12% годовых. Сравним простой процент, капитализацию раз в год и раз в месяц.
- 1Простой процент100 000 × (1 + 0,12 × 5) = 160 000 ₽
- 2Капитализация раз в год100 000 × 1,12⁵ ≈ 176 234 ₽
- 3Капитализация раз в месяц100 000 × (1 + 0,12 / 12)⁶⁰ = 100 000 × 1,01⁶⁰ ≈ 181 670 ₽
- 4Эффективная ставка при ежемесячной капитализации1,01¹² − 1 ≈ 12,68% годовых
Ежемесячная капитализация за пять лет принесла на 21 670 ₽ больше простого процента и на 5 436 ₽ больше капитализации раз в год. Свой вариант со взносами и другим сроком удобно посчитать в нашем калькуляторе сложного процента.
Сложный процент на примере
Мария и Иван ровесники. Мария с 25 до 35 лет откладывает по 10 000 ₽ в месяц, а потом перестаёт пополнять счёт, но и ничего с него не снимает. Иван начинает в 35 и откладывает те же 10 000 ₽ в месяц до 55 лет. Оба получают 10% годовых (условно) и реинвестируют весь доход.
К 55 годам Мария вложила 1,2 млн ₽, Иван — 2,4 млн ₽. У Марии на счёте около 13,4 млн ₽, у Ивана — около 7,2 млн ₽. Иван вложил вдвое больше, а получил почти вдвое меньше: у денег Марии было на десять лет больше, чтобы расти. Инфляцию пример не учитывает, и в реальных деньгах обе суммы будут меньше.
Сложный процент: главное
- Сложный процент — начисление процентов на проценты: доход остаётся в деле и сам приносит доход
- Итог = начальная сумма × (1 + r / n)^(n × t); срок стоит в степени, поэтому ранний старт так много значит
- Чем чаще капитализация, тем выше эффективная ставка, но после ежемесячной прибавка почти незаметна
- В инвестициях механизм включается реинвестированием купонов и дивидендов
- Комиссии, налоги и инфляция тоже накапливаются по сложному проценту
Сложный процент: распространённые заблуждения
| Миф | Реальность |
|---|---|
Эйнштейн назвал сложный процент восьмым чудом света | Подтверждений этому нет. В сборнике «The Ultimate Quotable Einstein» издательства Принстонского университета фраза стоит в разделе «Вероятно, не Эйнштейн». Самый ранний похожий текст, который нашёл исследовательский сайт Quote Investigator, — реклама ссудо-сберегательной компании 1925 года без указания автора. |
Сложный процент быстро делает богатым | Первые годы он почти не отличается от простого: при 10% годовых разница за пять лет — около 11% от вложенной суммы. Эффект становится заметным через десятилетия и только при условии, что доход не забирают и доходность остаётся положительной после инфляции, налогов и комиссий. |
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Это проценты на проценты. Доход по вкладу или вложению оставляют и прибавляют к сумме, и в следующий раз проценты начисляют уже на выросшую базу. 100 000 ₽ под 10% годовых через год станут 110 000 ₽, через два года — 121 000 ₽, а не 120 000 ₽, как при простом проценте. За десятилетия разница вырастает в разы.
По формуле: итоговая сумма = начальная сумма × (1 + r / n)^(n × t), где r — годовая ставка в долях единицы, n — сколько раз в год начисляют проценты, t — срок в годах. Например, 100 000 ₽ под 12% годовых с ежемесячной капитализацией на пять лет: 100 000 × 1,01⁶⁰ ≈ 181 670 ₽. Если проценты начисляют раз в год, формула проще: 100 000 × 1,12⁵ ≈ 176 234 ₽. Со взносами и разными сроками удобнее считать в калькуляторе сложного процента.
К росту начальной суммы прибавляют рост взносов. Если в конце каждого месяца вносить одинаковую сумму, взносы с процентами считаются так: взнос × ((1 + i)^N − 1) / i, где i — ставка за месяц в долях единицы, N — число взносов. При 10 000 ₽ в месяц и 1% в месяц за пять лет выйдет 10 000 × (1,01⁶⁰ − 1) / 0,01 ≈ 816 697 ₽ при 600 000 ₽ собственных взносов. Если взнос делают в начале месяца, результат умножают ещё на (1 + i).
Быстрая прикидка, за сколько лет удвоятся деньги при сложном проценте: 72 делят на годовую доходность в процентах. При 6% выходит 12 лет, точный ответ — 11,9. При 20% правило даёт 3,6 года, а точный ответ — 3,8, так что на высоких ставках прикидка занижает срок. Правилу больше пятисот лет: его без вывода приводит итальянский математик Лука Пачоли в «Сумме арифметики» 1494 года.
Да, если дивиденды вкладывать обратно в акции. Ставка здесь не фиксирована, но механика та же. Индекс МосБиржи полной доходности «брутто» (MCFTR), который учитывает реинвестированные дивиденды, с 23 сентября 2016 года по 25 сентября 2026 года вырос в 2,31 раза, а обычный Индекс МосБиржи (IMOEX) из тех же акций — только в 1,13 раза. Налоги и комиссии этот результат уменьшают, и тоже по сложному проценту.
Ежедневная, но разница невелика. При 12% годовых ежемесячная капитализация даёт эффективную ставку, то есть годовую доходность с учётом процентов на проценты, 12,68%, ежедневная — 12,75%. На 100 000 ₽ за год это меньше 100 ₽. Намного заметнее разница между капитализацией и её отсутствием: без неё те же 12% годовых так и остаются 12%. Сравнивать вклады удобнее по эффективной ставке.
