Портфельная теория Марковица
Обновлено:
Теория Марковица — это портфельная теория, по которой портфель выбирают по двум числам: ожидаемой доходности и риску, измеренному дисперсией или стандартным отклонением доходности. Риск портфеля складывается из рисков отдельных бумаг и их ковариаций — мер того, насколько согласованно бумаги движутся, — поэтому удачная смесь колеблется меньше, чем в среднем колеблются её активы. Портфели с наибольшей ожидаемой доходностью при каждом уровне риска образуют эффективную границу.
Марковиц изложил теорию в статье «Portfolio Selection» («Выбор портфеля») в мартовском номере The Journal of Finance за 1952 год, когда ему было 24 года, а подробно — в книге 1959 года. В 1990 году он получил Нобелевскую премию по экономике вместе с Уильямом Шарпом и Мертоном Миллером; премию ему присудили за разработку теории выбора портфеля.
Теория Марковица простыми словами
Тренер оценивает защитника не по числу забитых голов. Ему важно, сколько пропускает команда, когда этот игрок на поле. Гарри Марковиц предложил так же смотреть на ценные бумаги: бумагу оценивают по тому, что она делает с риском всего портфеля.
В его модели у портфеля два параметра. Ожидаемая доходность — средневзвешенная из ожидаемых доходностей бумаг, тут всё складывается линейно. Риск — дисперсия доходности, и она линейно не складывается: кроме дисперсий отдельных бумаг в неё входят попарные ковариации. Если бумаги движутся не синхронно, просадки одной частично перекрываются ростом другой, и портфель колеблется меньше, чем средневзвешенная из колебаний бумаг. Это и есть математика диверсификации.
Полностью убрать риск так не получится. В сообщении Шведской королевской академии наук о премии 1990 года отдельно сказано: доходности разных активов на практике связаны между собой, поэтому риск в целом нельзя устранить, сколько бы видов бумаг ни было в портфеле. Теория решает другую задачу — как при данном риске получить наибольшую ожидаемую доходность и не держать портфелей, которые проигрывают соседним по обоим параметрам.
Что предполагает модель Марковица
В модели инвестор не любит риск и выбирает портфель на один период вперёд, глядя только на два числа: ожидаемую доходность и дисперсию. Из двух портфелей с одинаковой доходностью он берёт тот, что колеблется меньше, а из двух с одинаковым риском — тот, что обещает больше. Портфели, которые проходят оба сравнения, Юджин Фама и Кеннет Френч называют эффективными по критерию «среднее — дисперсия».
Риск в модели измеряют стандартным отклонением — корнем из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем доходность отклоняется от ожидаемой, и одинаково учитывает отклонения вверх и вниз. Ожидаемую доходность портфеля модель определяет алгебраически: доходность каждой бумаги умножают на её долю и складывают.
Ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации модель считает известными. На практике их оценивают по прошлому, и качество «оптимального» портфеля упирается в качество этих оценок.
Эффективная граница Марковица
Возьмём облигационный фонд с ожидаемой доходностью 12% и стандартным отклонением 10% и фонд акций с 20% и 30%, корреляция между ними 0,2 (цифры условные). Если перебрать все доли и для каждой смеси посчитать риск и доходность, точки лягут на дугу.
Самый спокойный портфель получается при 4,5% акций: его стандартное отклонение 9,91%, меньше, чем у одних облигаций. Портфели с меньшей долей акций смысла не имеют. Например, портфель из одних облигаций с риском 10% приносит 12%, а смесь с 9,1% акций при том же риске даёт 12,7%. Эффективная граница — верхняя часть дуги: от самого спокойного портфеля до 100% акций. Какую точку на ней выбрать, зависит от того, сколько колебаний инвестор готов терпеть.
Если добавить безрисковый актив, картина меняется. Из точки безрисковой ставки проводят прямую, касательную к дуге, и все разумные портфели оказываются на ней: это смеси безрискового актива с одним и тем же касательным портфелем рискованных бумаг. Этот результат называют теоремой разделения Тобина (1958). Наклон прямой — коэффициент Шарпа, так что касательный портфель — смесь рискованных бумаг с наибольшим коэффициентом Шарпа. Из этого шага выросла модель CAPM.
| Доля фонда акций | Ожидаемая доходность | Стандартное отклонение | Что это за портфель |
|---|---|---|---|
| 0% | 12,0% | 10,0% | Неэффективный: при 9,1% акций тот же риск даёт 12,7% |
| 4,5% | 12,4% | 9,9% | Портфель минимального риска, начало эффективной границы |
| 10% | 12,8% | 10,0% | На эффективной границе |
| 20% | 13,6% | 10,9% | На эффективной границе |
| 30% | 14,4% | 12,5% | На эффективной границе |
| 50% | 16,0% | 16,7% | На эффективной границе |
| 70% | 17,6% | 21,8% | На эффективной границе |
| 100% | 20,0% | 30,0% | Конец границы: максимум доходности и риска |
Условные параметры: облигационный фонд — ожидаемая доходность 12%, стандартное отклонение 10%; фонд акций — 20% и 30%; корреляция 0,2. Расчёт по формуле дисперсии портфеля из двух активов, значения округлены.
Как собрать портфель Марковица в Excel
Понадобятся доходности бумаг за одни и те же месяцы или дни. По ним считают средние доходности и попарные ковариации: выборочную ковариацию в Excel считает функция КОВАРИАЦИЯ.В. Ожидаемая доходность портфеля — сумма произведений долей на средние доходности. Дисперсия — сумма произведений долей двух бумаг на их ковариацию по всем сочетаниям: бумага в паре с самой собой даёт свою дисперсию, а каждая пара разных бумаг входит в сумму дважды.
Подбор долей поручают надстройке «Поиск решения». Её сначала включают: в Excel для Windows в параметрах открывают раздел «Надстройки», в поле «Управление» выбирают «Надстройки Excel», нажимают «Перейти» и ставят флажок «Поиск решения». После этого кнопка появляется на вкладке «Данные» в группе «Анализ». Целевая ячейка — дисперсия портфеля, её минимизируют. Ограничения — доли не меньше нуля, в сумме 100%, ожидаемая доходность не ниже цели. Повторив расчёт для разных целей, получают эффективную границу по точкам.
Ограничения теории Марковица
Главная слабость теории в том, что она целиком зависит от входных данных. Виктор Демигель, Лоренцо Гарлаппи и Раман Уппал в статье 2009 года в The Review of Financial Studies сравнили 14 моделей оптимизации по оценкам из истории с простым портфелем равными долями на семи наборах данных. Ни одна модель не обгоняла равные доли стабильно ни по коэффициенту Шарпа, ни по двум другим критериям. По их расчёту с параметрами рынка акций США, чтобы оптимизация обыграла равные доли в портфеле из 25 активов, нужна история около 3000 месяцев, то есть примерно 250 лет, а для 50 активов — около 6000 месяцев.
Вторая слабость в том, что связи между бумагами непостоянны. Корреляции, посчитанные по спокойным годам, в кризис растут: по расчёту inFrame на данных Московской биржи средняя корреляция дневных доходностей 12 крупных российских акций выросла с 0,18 в 2019 году до 0,56 в период с 20 февраля по 30 апреля 2020 года. Портфель, оптимальный по спокойным данным, в панике оказывается рискованнее, чем обещала модель.
Третья слабость касается самой меры риска. Дисперсия одинаково наказывает взлёты и падения и плохо описывает редкие обвалы. К тому же модель однопериодная: она выбирает портфель на один шаг вперёд, а доли потом уплывают от целевых, и их возвращают ребалансировкой.
Теория Марковица: формула расчёта
Теория Марковица: расчёт по шагам
Портфель поровну из двух фондов. У фонда акций ожидаемая доходность 20% и стандартное отклонение 30%, у облигационного — 12% и 10%, корреляция между ними 0,2. Цифры условные.
- 1Ожидаемая доходность портфеля0,5 × 20% + 0,5 × 12% = 16%
- 2Ковариация фондов0,2 × 0,30 × 0,10 = 0,006
- 3Дисперсия портфеля0,25 × 0,09 + 0,25 × 0,01 + 2 × 0,5 × 0,5 × 0,006 = 0,0225 + 0,0025 + 0,003 = 0,028
- 4Стандартное отклонение портфеля√0,028 ≈ 0,167, или 16,7%
Средневзвешенный риск двух фондов — 20%, а портфель колеблется на 16,7%: 3,3 процентного пункта риска убрала слабая связь между фондами, а ожидаемая доходность осталась средней из двух. При корреляции 1 выигрыша бы не было, и стандартное отклонение портфеля было бы ровно 20%.
Теория Марковица на примере
У Марии 1 000 000 ₽ в облигационном фонде с ожидаемой доходностью 13% и стандартным отклонением 8%. Она думает добавить фонд акций с ожидаемой доходностью 21% и стандартным отклонением 28%, корреляция с облигациями — 0,1. Цифры условные.
Если переложить в акции 100 000 ₽, то есть 10%, ожидаемая доходность портфеля вырастет до 0,9 × 13% + 0,1 × 21% = 13,8%, а стандартное отклонение даже немного снизится, до 7,98%. Выходит, портфель из одних облигаций был неэффективным: рядом нашёлся вариант с тем же риском и большей доходностью.
Дальше выбор за Марией. При 20% акций ожидаемая доходность — 14,6%, стандартное отклонение — 8,9%. Это уже плата риском за доходность, и теория не говорит, сколько платить. Она только отсекает портфели, которые хуже соседних по обоим параметрам.
Теория Марковица: главное
- Портфель выбирают по ожидаемой доходности и риску — дисперсии или стандартному отклонению доходности
- Доходность портфеля — средневзвешенная из доходностей бумаг, а риск зависит ещё и от ковариаций между ними
- Эффективная граница — портфели с наибольшей ожидаемой доходностью при каждом уровне риска
- С безрисковым активом лучший рискованный портфель — касательный, с наибольшим коэффициентом Шарпа; из этого выросла модель CAPM
- Слабое место — входные данные: оценки доходностей и корреляций по прошлому неточны, а в кризис корреляции растут
- Гарри Марковиц опубликовал теорию в 1952 году и получил за неё Нобелевскую премию в 1990-м
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Это правило собирать портфель так, чтобы за каждый уровень риска получать наибольшую ожидаемую доходность. Риск портфеля зависит от того, насколько согласованно движутся бумаги: если они падают не одновременно, смесь колеблется меньше, чем в среднем колеблются её бумаги. Гарри Марковиц изложил это в статье 1952 года, а способ рассчитать лучшие сочетания долей описал в работе 1956 года.
Алгебраически, как средневзвешенная ожидаемых доходностей бумаг: доходность каждой умножают на её долю в портфеле и складывают. Если 60% портфеля приходится на бумагу с ожидаемой доходностью 20%, а 40% — на бумагу с 10%, ожидаемая доходность портфеля — 0,6 × 20% + 0,4 × 10% = 16% (цифры условные). С риском так не выходит: стандартное отклонение портфеля зависит ещё и от корреляции между бумагами.
Для оценки риска. Стандартное отклонение — корень из дисперсии — показывает, насколько в среднем доходность отклоняется от ожидаемой. Чем оно больше, тем рискованнее бумага или портфель. Марковиц предложил выбирать портфель по двум числам: ожидаемой доходности и этому разбросу. Слабость у меры одна заметная: отклонения вверх она учитывает так же, как отклонения вниз.
Это набор портфелей, у которых при данном риске наибольшая ожидаемая доходность. На графике «риск — доходность» он выглядит как верхняя часть дуги, начиная с портфеля минимального риска. Портфель под границей неэффективен: найдётся другой, который при том же риске обещает больше. Если добавить безрисковый актив, лучшие портфели переходят на прямую, касательную к границе.
Что инвестор не любит риск и выбирает портфель на один период, глядя только на ожидаемую доходность и дисперсию доходности. Ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации бумаг модель считает известными. В жизни их приходится оценивать по прошлому, и от точности этих оценок зависит, насколько хорош «оптимальный» портфель.
Соберите доходности бумаг за одни и те же периоды и посчитайте средние и ковариации, для ковариации есть функция КОВАРИАЦИЯ.В. Ожидаемая доходность портфеля — сумма произведений долей на средние доходности, дисперсия — сумма произведений долей двух бумаг на их ковариацию по всем сочетаниям, где бумага в паре с самой собой даёт свою дисперсию, а каждая пара разных бумаг входит в сумму дважды. Затем включите надстройку «Поиск решения» и попросите её минимизировать дисперсию при ограничениях: доли не меньше нуля, в сумме 100%, ожидаемая доходность не ниже цели. Повторив расчёт для разных целей, получите эффективную границу по точкам.
