Что такое корреляция простыми словами

Введение

Корреляция, или коэффициент корреляции, показывает зависимость в движении между двумя активами (акции, облигации, валюты, сырьевые товары, криптоактивы, а также отдельные активы с индексами). При этом корреляция описывает только линейную зависимость.

Линейная зависимость — это когда два показателя меняются так, что их связь можно примерно изобразить прямой линией. Если один растёт, второй в среднем тоже растёт (или наоборот, падает) в каком-то постоянном соотношении. То есть изменения одного сопровождаются более-менее пропорциональными изменениями другого.

Если оба актива чаще растут и падают в одном направлении, говорят про положительную корреляцию.

Если один растёт, а другой в это время падает, то это отрицательная корреляция.

А если каждый актив живёт своей жизнью, то корреляция будет около нуля. Или можно сказать, что линейная зависимость отсутствует.

Отсутствие линейной связи не означает отсутствие связи вообще. Активы могут двигаться нелинейно: например, один реагирует на резкие падения другого, но игнорирует плавные движения; или зависимость проявляется только в стрессовые периоды рынка. Корреляция такое не видит, она слепа ко всему, что не укладывается в прямую.

Ковариация и стандартное отклонение

В основе расчёта корреляции лежат ковариация и стандартное отклонение.

Ковариация показывает направление связи, как и корреляция. Но её величина зависит ещё и от того, насколько сильно колеблется каждый актив. И единицы у неё неудобные: если доходности в процентах, ковариация выходит в процентах в квадрате. Поэтому её трудно интерпретировать и используют для промежуточных расчётов.
Стандартное отклонение — знакомый нам из статьи о волатильности показатель разброса доходностей актива.

После того как мы посчитали ковариацию и стандартное отклонение, мы можем перейти к расчёту корреляции. Корреляция нормирует ковариацию и переводит её в безразмерную величину. Благодаря этому коэффициент всегда лежит в диапазоне от −1 до +1.

Соответственно, чем ближе корреляция к 1 или −1, тем сильнее зависимость между активами. А чем ближе к 0, тем слабее.

Например, если корреляция между акциями А и Б равна 0,9, то это значит, что между доходностями двух активов очень сильная линейная связь. Когда один актив растёт, второй обычно тоже растёт, и их изменения по пропорции и направлению очень похожи.

Корреляция смотрит только на похожесть формы движения, масштаб изменений на неё не влияет. Например, корреляция 0,7 означает, что линии движений цены активов довольно похожи: часто двигаются в одном направлении, плюс-минус движения одинаковы по форме, но иногда расходятся, есть шум. А вот пример про масштаб: актив А вырос на 2 %, актив Б — на 0,4 %. На следующий день А упал на 1 %, Б — на 0,2 %. Формы совпадают: рост-рост, падение-падение, и Б каждый раз движется в пять раз слабее А. Если так продолжается день за днём, корреляция равна 1, хотя размах у активов разный.

Как рассчитать корреляцию

Предположим, у нас есть доходности двух акций за три месяца. Цифры условные, это не реальные доходности Сбербанка и Лукойла:

Месяц	Сбербанк	Лукойл
1	+2 %	+3 %
2	+4 %	+6 %
3	−1 %	−2 %

Считаем ковариацию

Для начала нужно найти средние доходности за три месяца для Сбербанка и Лукойла. Для каждого актива нужно сложить все доходности за три месяца и разделить на количество месяцев.

Сбербанк: (2 % + 4 % − 1 %)/3 = 1,67 %

Лукойл: (3 % + 6 % − 2 %)/3 = 2,33 %

Затем для каждого месяца вычитаем из доходности акции её среднюю и перемножаем отклонения двух акций:

Месяц 1: (2 − 1,67) × (3 − 2,33) = 0,33 × 0,67 ≈ 0,22.
Месяц 2: (4 − 1,67) × (6 − 2,33) = 2,33 × 3,67 ≈ 8,55.
Месяц 3: (−1 − 1,67) × (−2 − 2,33) = (−2,67) × (−4,33) ≈ 11,56.

Складываем и делим на количество периодов: (0,22 + 8,55 + 11,56)/3 ≈ 6,78. Это и есть ковариация между доходностями Сбербанка и Лукойла.

Но число 6,78 (оно в процентах в квадрате) трудно интерпретировать. Можно сказать только, что оно положительное, то есть доходности Сбербанка и Лукойла отклоняются от своих средних в одну сторону. Насколько сильно акции связаны между собой, ковариация не говорит.

Считаем стандартное отклонение

Чтобы посчитать стандартное отклонение, нужно сначала посчитать дисперсию, а затем извлечь из неё квадратный корень. Подробный расчёт с примерами я приводил в статье про волатильность.

Сейчас же, чтобы не повторяться, я приведу лишь сами расчёты основных этапов без пояснений.

Средние значения доходностей

Сбербанк: (2 % + 4 % − 1 %)/3 = 1,67 %

Лукойл: (3 % + 6 % − 2 %)/3 = 2,33 %

Квадраты отклонений от средних

Сбербанк:

0,02 − 0,016667 = 0,003333 → (0,003333)² = 0,00001111
0,04 − 0,016667 = 0,023333 → (0,023333)² = 0,00054444
−0,01 − 0,016667 = −0,026667 → (−0,026667)² = 0,00071111

Сумма квадратов: 0,00126666

Лукойл:

0,03 − 0,023333 = 0,006667 → (0,006667)² = 0,00004444
0,06 − 0,023333 = 0,036667 → (0,036667)² = 0,00134444
−0,02 − 0,023333 = −0,043333 → (−0,043333)² = 0,00187778

Сумма квадратов: 0,00326666

Дисперсия

Сбербанк: 0,00126666 / 3 ≈ 0,00042222

Лукойл: 0,00326666 / 3 ≈ 0,00108889

Стандартное отклонение

Сбербанк: √0,00042222 ≈ 0,02055 (2,055 %)

Лукойл: √0,00108889 ≈ 0,03300 (3,300 %)

Считаем корреляцию

Чтобы посчитать корреляцию, нужно разделить ковариацию на произведение стандартных отклонений:

Корреляция: 6,78 ÷ (2,055 × 3,300) ≈ 1,00

Точное значение — 0,9996. Если округлить стандартные отклонения до 2,05 % и 3,30 %, выйдет чуть больше единицы, 1,002. Это погрешность округления: больше 1 коэффициент корреляции не бывает. Число почти равно единице, значит акции двигаются в одном направлении и почти идеально синхронно. При этом размах колебаний у Лукойла примерно в 1,6 раза больше: 3,30 % против 2,05 %.

Ковариацию и дисперсию мы делили на число месяцев, n. Есть и другой способ: делить на n − 1, то есть на число периодов минус один. Его берут, когда прошлые доходности считают выборкой, то есть лишь частью всей возможной истории. В Excel так считают функции КОВАРИАЦИЯ.В и СТАНДОТКЛОН.В. В нашем примере ковариация тогда вышла бы 10,17, а стандартные отклонения — 2,52 % и 4,04 %. Корреляция при этом останется 0,9996: делитель стоит и в числителе, и в знаменателе, поэтому сокращается. Главное — делить ковариацию и дисперсии на одно и то же число.

Границы между слабой и сильной связью условные, и в разных учебниках их проводят по-разному. Одну из таких шкал мы приводим в статье глоссария о корреляции. Насколько можно доверять самому коэффициенту, зависит ещё и от числа наблюдений: по трём месяцам, как в нашем примере, оценка очень грубая.

Зачем нужна корреляция

Для инвестора корреляция — главный инструмент диверсификации портфеля. Если собрать активы, которые мало зависят друг от друга, можно снизить общую волатильность и риск.

При положительной корреляции активы двигаются вместе, и их просадки и подъёмы в портфеле складываются. Отрицательная корреляция помогает сгладить колебания: когда один актив падает, другой чаще растёт.

Нюансы и подводные камни

У корреляции есть ограничения, о которых легко забыть:

Выбросы и короткие выборки. Одиночные экстремальные значения доходности могут исказить корреляцию, как и дисперсию. Один аномальный день способен повернуть коэффициент с положительного на отрицательный. Поэтому перед выводами стоит посмотреть на сами доходности, по которым считали коэффициент.
Ложные связи. Заметная корреляция может возникнуть случайно. Тайлер Виген собирает такие примеры на сайте Spurious Correlations («ложные корреляции»). Там есть, например, забавная связь между числом фильмов с Николасом Кейджем за год и числом людей, утонувших в бассейнах. Прежде чем опираться на коэффициент, проверьте, есть ли у связи экономический смысл.
Нестабильность. Корреляция не высечена в камне. Она меняется со временем: в стрессовые периоды может резко сдвинуться, а потом вернуться к прежнему уровню. Поэтому её стоит регулярно пересчитывать. Раз и навсегда найденного коэффициента не бывает.

Что в итоге

Корреляция — это мера силы и направления линейной связи между доходностями двух активов. Она рассчитывается как ковариация, нормированная на стандартные отклонения, благодаря чему принимает значения от −1 до +1. Положительные значения показывают, что активы двигаются в одну сторону, отрицательные — что в противоположные, а значения около нуля — что линейной связи нет.

Эта величина лежит в основе диверсификации, расчёта беты и оценки рисков, но требует аккуратного обращения: учитывайте период, проверяйте выбросы и помните, что корреляция — это не причинность и не постоянная величина.

Понимание корреляции помогает строить более устойчивые портфели и искать торговые идеи, а заодно учит не доверять каждой красивой статистической связи: некоторые из них смешны, как фильмы Николаса Кейджа и утопления в бассейнах.

Что такое корреляция