Ковариация
Автор: Алексей ГорянинОбновлено:Ковариация — это мера совместного изменения двух величин: среднее произведение их отклонений от собственных средних значений. Если величины чаще отклоняются от средних в одну сторону, ковариация положительная, если в разные — отрицательная. В инвестициях её считают по доходностям двух активов: от ковариаций зависит риск портфеля, а корреляция и бета-коэффициент получаются из неё делением.
Ковариация простыми словами
Иван и Мария ездят на работу одной электричкой. Когда она задерживается, оба приходят позже обычного, и чем дольше стоит поезд, тем сильнее опаздывают оба. Их коллега Лиза живёт рядом с офисом и ходит пешком: её опоздания с расписанием электричек никак не связаны. Если записывать, на сколько минут каждый отклонился от своего обычного времени, у Ивана и Марии отклонения будут совпадать по знаку день за днём, а у Ивана и Лизы — как придётся. Ковариация измеряет именно такую совместность.
Считают её в три действия: для каждой величины находят среднее, для каждого дня — отклонение от этого среднего, потом отклонения двух величин за один и тот же день перемножают и произведения усредняют. Когда обе доходности в один день оказались выше своих средних или обе ниже, произведение положительное. Когда одна выше, а другая ниже, оно отрицательное. Итог показывает, какие дни перевешивают.
У ковариации неудобные единицы. Если доходности записаны в процентах, она получается в процентах в квадрате, и её размер зависит от размаха колебаний: у двух беспокойных бумаг ковариация выйдет большой даже при посредственной связи. Поэтому для сравнения пар её делят на стандартные отклонения обеих величин и получают корреляцию — число от −1 до +1. А в расчёте риска портфеля нужна как раз сама ковариация, без нормировки.
Что показывает ковариация: знак и величина
Знак ковариации отвечает на вопрос, в одну ли сторону две величины отклоняются от своих средних. Положительная ковариация доходностей двух акций означает, что в дни, когда первая бумага выглядит лучше своего среднего, вторая чаще тоже выглядит лучше своего. Отрицательная — что в такие дни вторая чаще отстаёт от своего среднего. Речь именно об отклонениях от среднего: две акции с отрицательной ковариацией могут обе вырасти за год.
Величина говорит меньше, чем хочется. В неё зашиты сразу три вещи: теснота связи и размах колебаний каждой из двух величин. Если умножить все доходности одной бумаги на два, ковариация тоже удвоится, хотя связь осталась прежней. Поэтому по числу 5 или 0,5 нельзя сказать, сильная связь или слабая, пока не известны стандартные отклонения.
Есть два частных случая, которые полезно помнить. Ковариация величины с самой собой — это её дисперсия, то есть квадрат стандартного отклонения. А у независимых величин ковариация равна нулю. В обратную сторону правило не работает: нулевая ковариация исключает только линейную связь, и более сложная зависимость при этом может остаться.
| Ковариация | Что это значит | Что происходит с риском портфеля из двух активов |
|---|---|---|
| Положительная | Доходности чаще отклоняются от своих средних в одну сторону | Колебания складываются: чем больше ковариация, тем ближе риск портфеля к среднему риску двух активов |
| Около нуля | Линейной связи между отклонениями нет | Колебания частично гасят друг друга: риск портфеля заметно ниже среднего риска активов |
| Отрицательная | Доходности чаще отклоняются от средних в разные стороны | Просадки одного актива чаще приходятся на удачные дни другого: риск портфеля ещё ниже |
Знак читается однозначно, а величину сравнивают только после перевода в корреляцию. Ковариация, посчитанная по прошлым данным, в другой период может оказаться другой.
Чем ковариация отличается от корреляции
Корреляция — это ковариация, из которой убрали масштаб: её делят на произведение стандартных отклонений двух величин. Знак остаётся тем же, а значение попадает в диапазон от −1 до +1, и пары активов становится можно сравнивать между собой.
Разницу хорошо видно на российских акциях. Мы посчитали по данным Московской биржи ковариацию и корреляцию дневных доходностей пяти пар за три года, с 29 сентября 2023 по 29 сентября 2026 года. У пары «Самолёт» и «Мечел» ковариация 5,49, у пары «Газпром» и «Сбербанк» — 1,69, втрое меньше. При этом корреляция у них почти одинаковая: 0,61 и 0,62. Вся разница в размахе: стандартное отклонение дневной доходности у акций застройщика и горно-металлургической компании — 3,2% и 2,8%, у «Газпрома» и «Сбербанка» — 2,0% и 1,3%.
Бывает и обратное: за те же три года по 29 сентября 2026 года у «Новатэка» и «Газпрома» ковариация 3,15, меньше, чем у «Самолёта» и «Мечела», а связь теснее — корреляция 0,75. Ранжировать пары по ковариации бессмысленно, для этого есть корреляция.
| Пара акций | Ковариация дневных доходностей, %² | Корреляция | Стандартное отклонение за день |
|---|---|---|---|
| Самолёт и Мечел (SMLT и MTLR) | 5,49 | 0,61 | 3,24% и 2,76% |
| Новатэк и Газпром (NVTK и GAZP) | 3,15 | 0,75 | 2,10% и 2,02% |
| Газпром и Сбербанк (GAZP и SBER) | 1,69 | 0,62 | 2,02% и 1,34% |
| Сбербанк и ЛУКОЙЛ (SBER и LKOH) | 1,11 | 0,51 | 1,34% и 1,63% |
| Сбербанк и Полюс (SBER и PLZL) | 0,93 | 0,30 | 1,34% и 2,28% |
Расчёт inFrame по данным Московской биржи: 763 дневные доходности с 29 сентября 2023 по 29 сентября 2026 года, цены закрытия основной торговой сессии без поправки на дивиденды. Доходности взяты в процентах, поэтому ковариация выражена в процентах в квадрате. У «Полюса» исключены дни без сделок 24–26 марта 2025 года и день дробления акций 27 марта 2025 года, поэтому у пары с ним 759 доходностей. Ковариация выборочная, с делителем n − 1. В другой период значения будут другими.
Зачем ковариация нужна в портфеле
Риск портфеля нельзя получить, просто усреднив риски бумаг. Гарри Марковиц показал это в статье «Выбор портфеля» 1952 года: дисперсия доходности портфеля зависит и от дисперсий отдельных активов, и от ковариаций каждой пары. Для двух активов формула такая: дисперсия портфеля = w₁² × σ₁² + w₂² × σ₂² + 2 × w₁ × w₂ × Cov, где w — доли активов, σ² — их дисперсии, Cov — ковариация доходностей.
Чем больше бумаг, тем сильнее результат зависит от ковариаций. У портфеля из 20 акций 20 дисперсий и 190 попарных ковариаций, у портфеля из 50 акций — 50 и 1 225. Собственные колебания каждой бумаги в большом портфеле почти растворяются, и его риск определяется тем, насколько бумаги колеблются вместе. Это и есть механика диверсификации: она снижает риск, пока ковариации между активами невелики.
На ковариации построен и бета-коэффициент: это ковариация доходности бумаги с доходностью рыночного индекса, делённая на дисперсию индекса. По расчёту inFrame на данных Московской биржи за три года, с 29 сентября 2023 по 29 сентября 2026 года, ковариация дневных доходностей «Сбербанка» и Индекса МосБиржи — 1,49, дисперсия доходностей индекса — 1,84, и бета получается 1,49 / 1,84 = 0,81. В расчёте взяты цены акции и значения индекса на закрытие основной торговой сессии, доходности выражены в процентах. Ту часть риска, которую задают общие для всего рынка колебания, называют систематической.
Как посчитать ковариацию в Excel
В Excel для ковариации есть две функции. КОВАРИАЦИЯ.В считает выборочную ковариацию и делит сумму произведений отклонений на n − 1. КОВАРИАЦИЯ.Г считает ковариацию генеральной совокупности и делит на n. Ряд рыночных доходностей — это выборка из всего, что могло случиться, поэтому для него берут первую функцию. Старая функция КОВАР делит на n, и в справке Microsoft она помечена как заменённая двумя новыми.
Порядок тот же, что и для корреляции. В два соседних столбца ставят доходности двух активов за одни и те же дни: цена закрытия, делённая на вчерашнюю, минус единица. Затем в свободной ячейке пишут =КОВАРИАЦИЯ.В(диапазон1; диапазон2). Считать по самим ценам вместо доходностей не стоит: у двух бумаг, которые весь год росли, цены дадут большую положительную ковариацию, даже если день ко дню они двигались независимо.
При коротком ряде разница между делителями заметна: на пяти наблюдениях выборочная ковариация на четверть больше генеральной. На сотнях наблюдений расхождение уходит в третий знак.
Ковариация: формула расчёта
Ковариация: расчёт по шагам
За пять дней акция А изменилась на +1%, +3%, −2%, +4% и −1%, акция Б — на +2%, +1%, −3%, +5% и 0%. Цифры условные.
- 1Средние доходностиА: (1 + 3 − 2 + 4 − 1) / 5 = 1%; Б: (2 + 1 − 3 + 5 + 0) / 5 = 1%
- 2Отклонения от средних по днямА: 0, +2, −3, +3, −2; Б: +1, 0, −4, +4, −1
- 3Сумма произведений отклонений0 × 1 + 2 × 0 + (−3) × (−4) + 3 × 4 + (−2) × (−1) = 26
- 4Ковариация26 / (5 − 1) = 6,5
Ковариация положительная: в дни, когда акция А была выше своего среднего, акция Б чаще тоже была выше своего. Само число 6,5 в процентах в квадрате мало о чём говорит, пока его не сравнили с размахом бумаг. Стандартные отклонения здесь — 2,55% у акции А и 2,92% у акции Б, поэтому корреляция равна 6,5 / (2,55 × 2,92) ≈ 0,87. По пяти дням оценка грубая, на практике берут хотя бы несколько месяцев данных.
Ковариация на примере
У Лизы 60% портфеля в акции А и 40% в акции Б. Годовая волатильность первой — 30%, второй — 40%, то есть дисперсии 0,09 и 0,16, если считать в долях единицы. Ковариация годовых доходностей — 0,036, что соответствует корреляции 0,3. Цифры условные.
Дисперсия портфеля: 0,6² × 0,09 + 0,4² × 0,16 + 2 × 0,6 × 0,4 × 0,036 = 0,0324 + 0,0256 + 0,0173 = 0,0753. Корень из неё — волатильность портфеля, 27,4%. Это меньше, чем средневзвешенные 34% двух бумаг, и даже меньше, чем у более спокойной из них.
Теперь Лиза меняет только ковариацию. Если бы она была 0,096 (корреляция 0,8), третье слагаемое выросло бы до 0,0461, а волатильность портфеля — до 32,3%. При ковариации −0,024 (корреляция −0,2) слагаемое стало бы отрицательным, и волатильность опустилась бы до 21,6%. Доли и сами бумаги те же, а риск портфеля различается в полтора раза.
Ковариация: главное
- Ковариация — среднее произведение отклонений двух величин от их средних; знак показывает, в одну ли сторону они отклоняются
- Величина ковариации зависит от размаха колебаний, поэтому пары активов сравнивают по корреляции — ковариации, делённой на произведение стандартных отклонений
- Ковариация величины с самой собой равна её дисперсии
- Риск портфеля зависит от ковариаций между бумагами: у портфеля из 20 акций их 190
- Бета — ковариация доходности бумаги с рыночным индексом, делённая на дисперсию индекса
- В Excel выборочную ковариацию считает функция КОВАРИАЦИЯ.В
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Это число, которое показывает, склонны ли две величины одновременно оказываться выше или ниже своих средних значений. Для каждого дня берут отклонение доходности первой акции от её средней и отклонение второй от её средней, перемножают их и усредняют произведения. Положительный результат означает, что бумаги чаще отклоняются в одну сторону, отрицательный — что в разные, близкий к нулю — что линейной связи нет.
Отрицательная ковариация означает, что в периоды, когда доходность одной акции выше её среднего, доходность другой чаще ниже своего среднего. Риск портфеля от этого ниже: слагаемое с ковариацией в формуле дисперсии портфеля становится отрицательным и уменьшает общий риск. Среди акций одного рынка такие пары найти трудно, потому что на бумаги действуют общие факторы. По расчёту inFrame на данных Московской биржи за три года по 29 сентября 2026 года у всех 55 пар из 11 крупных акций ковариация дневных доходностей была положительной.
Возьмите два ряда значений за одни и те же периоды, например дневные доходности двух акций. Найдите среднее каждого ряда, для каждого дня посчитайте отклонения от средних, перемножьте отклонения двух бумаг за один день и сложите произведения. Сумму разделите на число наблюдений минус один — получится выборочная ковариация. В Excel то же делает функция КОВАРИАЦИЯ.В(диапазон1; диапазон2).
Корреляция — это ковариация, делённая на произведение стандартных отклонений двух величин. Ковариация зависит от единиц измерения и размаха колебаний, поэтому её значения для разных пар несравнимы. Корреляция всегда лежит между −1 и +1 и показывает только тесноту линейной связи. Пример из расчёта inFrame по данным Московской биржи за три года по 29 сентября 2026 года: у акций «Самолёта» и «Мечела» ковариация дневных доходностей 5,49, у «Газпрома» и «Сбербанка» — 1,69, а корреляция у обеих пар около 0,6.
Ковариация величины с самой собой равна её дисперсии — квадрату стандартного отклонения. У независимых величин ковариация равна нулю. В обратную сторону это не работает: нулевая ковариация говорит только об отсутствии линейной связи, а нелинейная зависимость при этом возможна.
Это таблица, в которой на пересечении строки и столбца стоит ковариация соответствующей пары активов, а по диагонали — дисперсии самих активов. Для портфеля из 20 акций в ней 20 дисперсий и 190 разных ковариаций. По такой матрице и долям бумаг считают дисперсию портфеля, поэтому на ней построена портфельная теория Гарри Марковица.
