Выпуклость облигации (convexity)
Обновлено:
Выпуклость облигации — это мера того, насколько изогнута зависимость цены облигации от её доходности к погашению. Модифицированная дюрация описывает эту зависимость прямой линией, а выпуклость добавляет поправку на изгиб, и с ней оценка изменения цены при сильном сдвиге доходности получается заметно точнее. У облигации с заранее известными платежами выпуклость положительная: при росте доходности цена падает меньше, чем обещает дюрация, а при снижении растёт больше.
Название взято из геометрии. Если нарисовать график, где по горизонтали доходность, а по вертикали цена облигации, получится кривая, похожая на край чаши: любая касательная к ней проходит ниже самой кривой. В математике такую функцию называют выпуклой, в школьных учебниках — выпуклой вниз.
Выпуклость облигации простыми словами
Встаньте на склон большой чаши и посмотрите вдоль него. Если мысленно продолжить склон прямой линией, кажется, что через пару шагов вниз вы окажетесь очень глубоко. Но стенка чаши загибается вверх, и на деле вы будете выше, чем обещала прямая. Шагнёте в другую сторону, вверх по склону, — и снова окажетесь выше прямой. Цена облигации ведёт себя как такая чаша, а модифицированная дюрация — как прямая, проведённая по склону.
Цена облигации — это сумма будущих купонов и номинала, пересчитанных на сегодня по доходности к погашению. Такой пересчёт называют дисконтированием. Когда доходность растёт, цена падает, но всё медленнее: дальние платежи дисконтируются сильнее, их вес в цене снижается, и облигация становится менее чувствительной к ставкам. Когда доходность снижается, цена растёт всё быстрее. Модифицированная дюрация знает только наклон кривой в текущей точке, то есть прямую. Выпуклость показывает, насколько кривая отходит от этой прямой.
При небольших сдвигах доходности разница почти незаметна. У десятилетней облигации с купоном 10% годовых и ценой 1 000 ₽ сдвиг доходности на 1 процентный пункт даёт поправку на выпуклость около 2,6 ₽. При сдвиге на 3 пункта поправка уже около 24 ₽. Поэтому о выпуклости вспоминают, когда ставки двигаются резко и доходность может сдвинуться сразу на несколько пунктов.
Зачем выпуклость, если есть дюрация
Модифицированная дюрация (MD) показывает, на сколько процентов примерно изменится цена облигации, если её эффективная доходность к погашению сдвинется на 1 процентный пункт. Это правило линейное: сдвиг на 3 пункта стоит по нему ровно втрое больше, чем на 1, а рост и снижение доходности дают одинаковые по размеру изменения цены. У настоящей цены так не бывает.
Выпуклость добавляет к оценке второе слагаемое: половину выпуклости, умноженную на квадрат сдвига доходности. Квадрат всегда положительный, поэтому у облигации с заранее известными платежами поправка всегда в плюс. При росте доходности она уменьшает падение цены, при снижении увеличивает рост. При сдвиге на 1 пункт квадрат крошечный (0,01² = 0,0001), при сдвиге на 3 пункта он в 9 раз больше. Ошибка прямой растёт намного быстрее самого сдвига.
Возьмём условную облигацию из статьи о дюрации: номинал 1 000 ₽, 10 лет до погашения, купон 10% раз в год, эффективная доходность к погашению 10%, цена 1 000 ₽. Её модифицированная дюрация — 6,14, выпуклость — 52,79. При сдвиге доходности на 1 пункт прямая ошибается на 2,5–2,7 ₽, при сдвиге на 3 пункта — на 21–26 ₽. Поправка на выпуклость сокращает ошибку до 9 копеек и до 2–3 ₽. Совсем точной оценка не становится, поэтому при больших сдвигах цену надёжнее пересчитать по всем платежам.
| Сдвиг доходности | Точная цена | Оценка через MD | Оценка с поправкой на выпуклость |
|---|---|---|---|
| +1 п. п. (до 11%) | 941,11 ₽ | 938,55 ₽ | 941,19 ₽ |
| −1 п. п. (до 9%) | 1 064,18 ₽ | 1 061,45 ₽ | 1 064,09 ₽ |
| +3 п. п. (до 13%) | 837,21 ₽ | 815,66 ₽ | 839,42 ₽ |
| −3 п. п. (до 7%) | 1 210,71 ₽ | 1 184,34 ₽ | 1 208,09 ₽ |
Условная облигация: номинал 1 000 ₽, 10 лет, купон 10% раз в год, исходная эффективная доходность к погашению 10%. Сдвигается эта же эффективная доходность. Точная цена — пересчёт всех купонов и номинала по новой доходности.
От чего зависит выпуклость облигации
Выпуклость растёт со сроком, и быстрее, чем дюрация. В формуле срок каждого платежа умножается почти сам на себя, поэтому дальние платежи весят в выпуклости намного больше, чем в дюрации. Если удлинить срок условной облигации с 10 до 20 лет, модифицированная дюрация вырастет примерно на 40%, а выпуклость — больше чем вдвое.
Купон действует в обратную сторону. Чем он выше, тем больше денег возвращается рано и тем меньше вес дальних платежей. У десятилетней облигации без купона выпуклость 90,9, с купоном 10% — 52,8, с купоном 15% — 47,2.
Доходность тоже снижает выпуклость: чем она выше, тем сильнее дисконтируются дальние платежи. Та же десятилетняя облигация с купоном 10% при доходности 5% имеет выпуклость 64,0, при 10% — 52,8, при 15% — 43,2.
При одинаковой дюрации выпуклость больше у облигации, платежи которой сильнее разбросаны во времени. У бескупонной облигации со сроком 6,76 года дюрация такая же, как у десятилетней с купоном 10%, — 6,76 года (у бескупонной бумаги дюрация равна сроку). Но при доходности 10% выпуклость у бескупонной 43,3, у купонной — 52,8. Если доходность обеих упадёт на 3 пункта, купонная подорожает на 21,07%, бескупонная — на 20,55%. Если вырастет на 3 пункта, купонная подешевеет на 16,28%, бескупонная — на 16,63%. Купонная выигрывает в обе стороны, и в этом смысле при прочих равных большая выпуклость выгодна держателю.
| Условная облигация | Модифицированная дюрация | Выпуклость |
|---|---|---|
| 2 года, купон 10% | 1,74 | 4,7 |
| 10 лет, купон 10% | 6,14 | 52,8 |
| 20 лет, купон 10% | 8,51 | 116,2 |
| 10 лет, без купона | 9,09 | 90,9 |
| 10 лет, купон 15% | 5,71 | 47,2 |
Условные облигации номиналом 1 000 ₽ с купоном раз в год, эффективная доходность к погашению у всех 10%. Сроки платежей в формуле — в годах.
Как выпуклость считает Московская биржа
Формула выпуклости есть в методике расчёта накопленного купонного дохода (НКД) и доходности Московской биржи, редакция действует с 22 июня 2026 года. Там выпуклость (формула 29) входит в показатели страницы «Расчёт доходности/цены». В данных торгов, где биржа публикует доходность и дюрацию в днях, отдельного поля выпуклости нет.
Биржа считает выпуклость по эффективной доходности к погашению, а для облигаций с офертой — к ближайшей оферте, как будто в этот день облигацию погасят по цене оферты. Сроки платежей берутся в годах: дни до платежа, делённые на число дней в году. Делят сумму на цену вместе с НКД — частью текущего купона, которую покупатель доплачивает продавцу.
Сочетать выпуклость биржи стоит с модифицированной дюрацией по той же эффективной доходности y, то есть с дюрацией Маколея, делённой на (1 + y). Модифицированную дюрацию на той же странице биржа считает иначе, как D / (1 + y / n), где n — число купонов в год. При купоне раз в год формулы совпадают. При купоне два раза в год и чаще значение биржи получается больше, и подставлять его в оценку вместе с выпуклостью не стоит.
Выпуклость облигации: формула расчёта
Выпуклость облигации: расчёт по шагам
Условная облигация из статьи о дюрации: номинал 1 000 ₽, срок 10 лет, купон 10% (100 ₽) раз в год, эффективная доходность к погашению 10%, цена 1 000 ₽. Дюрация Маколея — 6,76 года, модифицированная — 6,76 / 1,10 = 6,14 (точнее, 6,1446). Эффективная доходность выросла на 1 процентный пункт, до 11%.
- 1Выпуклость(1 × 2 × 100 / 1,1³ + 2 × 3 × 100 / 1,1⁴ + … + 10 × 11 × 1 100 / 1,1¹²) / 1 000 = 52 792,56 / 1 000 = 52,79
- 2Оценка через модифицированную дюрацию1 000 × (1 − 6,1446 × 0,01) = 938,55 ₽
- 3Поправка на выпуклость½ × 52,79 × 0,01² = 0,264%, то есть 2,64 ₽: 938,55 + 2,64 = 941,19 ₽
- 4Точная цена по всем платежам при доходности 11%100 / 1,11 + 100 / 1,11² + … + 1 100 / 1,11¹⁰ = 941,11 ₽
Оценка через модифицированную дюрацию занизила цену примерно на 2,6 ₽, с поправкой на выпуклость ошибка меньше 10 копеек. При сдвиге на 1 пункт это мелочь. Но ошибка прямой растёт примерно с квадратом сдвига, и при сдвиге на 3 пункта она уже 21–26 ₽.
Выпуклость облигации на примере
Мария купила 200 условных облигаций номиналом 1 000 ₽ со сроком 20 лет и купоном 10% годовых по цене 1 000 ₽, всего на 200 000 ₽. Модифицированная дюрация такой облигации — 8,51, выпуклость — 116,2. Сразу после покупки Мария прикидывает два сценария: эффективная доходность к погашению резко сдвигается на 2 процентных пункта вверх или вниз.
По дюрации выходит симметрично: стоимость облигаций изменится примерно на 34 054 ₽ в любую сторону. Точный пересчёт даёт другую картину. При снижении доходности до 8% облигации подорожают на 39 273 ₽, при росте до 12% подешевеют на 29 878 ₽. Разница почти в 9 400 ₽ в пользу Марии — это и есть выпуклость. Оценка с поправкой на неё, +38 703 ₽ и −29 405 ₽, ложится намного ближе к точным цифрам.
Выпуклость облигации: главное
- Модифицированная дюрация даёт линейную оценку изменения цены, выпуклость добавляет поправку на изгиб кривой «цена — доходность»
- ΔP / P ≈ −MD × Δy + ½ × Выпуклость × Δy², где Δy — сдвиг эффективной доходности к погашению в долях
- У облигации с заранее известными платежами поправка всегда в плюс: цена падает меньше и растёт больше, чем обещает дюрация
- Выпуклость растёт со сроком и снижается с ростом купона и доходности
- При сдвиге доходности на 1 пункт поправка небольшая, при сдвиге на несколько пунктов оценка без неё заметно ошибается
Выпуклость облигации: распространённые заблуждения
| Миф | Реальность |
|---|---|
Чем больше выпуклость, тем лучше облигация | Длинные облигации выпуклее коротких просто из-за срока, но и цена у них колеблется сильнее: у условной двадцатилетней облигации выпуклость 116,2, у двухлетней — 4,7. Сравнивать выпуклость имеет смысл у облигаций с близкой дюрацией и доходностью. Тогда большая выпуклость действительно в пользу держателя. |
Выпуклость добавляет доход, даже если держать облигацию до погашения | Выпуклость описывает, как меняется цена облигации при сдвиге доходности. Если держать облигацию до погашения и эмитент платит, вы получите купоны и номинал, а колебания цены по дороге на итог не влияют. Выпуклость важна, когда облигацию могут продать раньше срока или когда оценивают стоимость портфеля на текущий день. |
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Насколько изогнута зависимость цены облигации от её доходности к погашению. Модифицированная дюрация описывает эту зависимость прямой: сдвиг доходности на 1 процентный пункт меняет цену примерно на одинаковый процент в обе стороны. На деле при росте доходности цена падает меньше, а при снижении растёт больше, чем обещает прямая. Выпуклость позволяет учесть эту разницу. Чем она больше, тем сильнее реальная цена отходит от линейной оценки при больших сдвигах доходности.
Дюрация Маколея — средневзвешенный срок возврата денег по облигации. Модифицированная дюрация показывает, на сколько процентов примерно изменится цена, если доходность к погашению сдвинется на 1 процентный пункт. Это первое приближение, прямая линия. Выпуклость — второе приближение: она показывает, как меняется сама чувствительность цены, пока доходность движется. Для небольших сдвигов дюрации хватает, выпуклость добавляют, когда доходность может сдвинуться на несколько пунктов.
Каждый платёж по облигации, купон или номинал, умножают на t × (t + 1), где t — срок до платежа в годах, и делят на (1 + y) в степени t + 2, где y — эффективная доходность к погашению в долях. Результаты складывают и делят на цену облигации вместе с накопленным купонным доходом (НКД). У условной облигации с номиналом 1 000 ₽, сроком 10 лет, купоном 10% раз в год и доходностью 10% выпуклость получается 52,79. По такой же формуле выпуклость считает Московская биржа.
Изменение цены в долях ≈ −MD × Δy + ½ × выпуклость × Δy². Здесь MD — модифицированная дюрация, то есть дюрация Маколея, делённая на (1 + эффективная доходность к погашению), а Δy — сдвиг этой доходности в долях. У условной десятилетней облигации с купоном 10%, ценой 1 000 ₽, модифицированной дюрацией 6,14 и выпуклостью 52,79 рост доходности с 10 до 11% даёт по дюрации 938,55 ₽, с поправкой на выпуклость — 941,19 ₽. Точная цена — 941,11 ₽.
Из-за выпуклости цена облигации с заранее известными платежами при снижении доходности растёт сильнее, чем падает при таком же росте. У условной десятилетней облигации с купоном 10% и ценой 1 000 ₽ снижение доходности на 3 процентных пункта поднимает цену на 21,1%, а рост на 3 пункта снижает её на 16,3%. Если у двух облигаций одинаковые дюрация и доходность, при заметном сдвиге доходности в любую сторону по оценке с поправкой выигрывает та, у которой выпуклость больше. Сравнивать выпуклость облигаций с разной дюрацией смысла мало: длинная облигация выпуклее, но и колеблется сильнее.
На сайте Московской биржи: по методике биржи выпуклость входит в показатели страницы «Расчёт доходности/цены». Биржа считает её по эффективной доходности к погашению, а для облигаций с офертой — к ближайшей оферте (оферта — дата, когда эмитент обязан выкупить облигации у владельцев, которые захотят их продать). В данных торгов, где публикуются цена, доходность и дюрация, отдельного поля выпуклости нет. Посчитать её можно и самому по графику платежей в электронной таблице.
