Дюрация на примерах
Представьте, что вы дали человеку деньги в долг под проценты. Он платит вам, например, каждый месяц, а через полгода возвращает всю сумму долга.
А теперь вас спрашивают: когда вы получите свои деньги обратно? В конце или раньше?
Формально кажется, что вы получите свои деньги обратно в конце, т.е. когда вам вернут долг. Но если посмотреть внимательнее, часть денег приходила к вам каждый месяц, ещё до возврата долга. Это проценты.
В итоге получается, что математически деньги «вернулись» к вам раньше, чем через полгода.
Вот ещё пример с фондового рынка: есть две облигации, обе с погашением через 5 лет. Первая — купонная, по ней вы получаете 10% в год. Вторая — бескупонная, вы получаете деньги только в конце. На первый взгляд, разницы между ними особой нет.
Но купонная облигация возвращает деньги постепенно, т.е. каждый год вы получаете часть денег обратно. А вот по бескупонной облигации вы получаете деньги только в конце.
А если деньги возвращаются к вам намного позже, то они дольше остаются под влиянием рыночного риска, т.е. риска изменения ставок.
Иначе говоря, две облигации могут иметь одинаковый срок погашения, но деньги по ним возвращаются с разной скоростью — а значит, и риск изменения ставок они несут по-разному.
Дюрация Маколея
Концепцию придумал экономист Фредерик Маколей в 1938 году. Идея такая: не все денежные потоки облигации одинаково важны. Купон, который придёт через год, ценнее купона через пять лет — он поступит раньше, и его текущая стоимость выше.
Поэтому каждый платёж взвешивается по его доле в текущей цене облигации. Все взвешенные сроки суммируются. Получившееся число — дюрация Маколея — измеряется в годах.
Считаем на примере
Возьмём простую облигацию: номинал 1 000 ₽, купон 10% годовых (100 ₽ в год), срок 3 года, доходность к погашению тоже 10%. Поскольку купон равен доходности, облигация торгуется по номиналу — за 1 000 ₽.
Сначала выпишем платежи по годам:
- Год 1: 100 ₽ (купон)
- Год 2: 100 ₽ (купон)
- Год 3: 1 100 ₽ (купон + возврат номинала)
Теперь считаем приведённую стоимость каждого потока — дисконтируем по ставке 10%:
- Год 1: 100 / 1,10 = 90,91 ₽
- Год 2: 100 / 1,10² = 82,64 ₽
- Год 3: 1 100 / 1,10³ = 826,45 ₽
Сумма приведённых стоимостей = 1 000 ₽. Это и есть цена облигации.
Дальше каждому потоку присваиваем вес — его долю в цене:
- Год 1: 90,91 / 1 000 = 9,09%
- Год 2: 82,64 / 1 000 = 8,26%
- Год 3: 826,45 / 1 000 = 82,65%
И умножаем вес на номер года, в котором пришёл поток: 0,0909 × 1 + 0,0826 × 2 + 0,8265 × 3 = 2,74 года
Вот это число — 2,74 — и есть дюрация Маколея. Формально срок облигации 3 года, но из-за того, что первые два года вы получали купоны, «средневзвешенное» время возврата денег оказывается меньше — около 2,74 года.
У бескупонной облигации с тем же сроком дюрация Маколея была бы ровно 3 года — вы получаете всё одним платежом в конце.
Вывод: чем выше купон, тем ниже дюрация — деньги возвращаются быстрее. Более высокая доходность тоже снижает дюрацию, но по другой причине: дальние платежи сильнее дисконтируются, и их вес в цене меньше.
Модифицированная дюрация
Дюрация Маколея — полезная концепция, но для управления риском используют выведенный из неё показатель — модифицированную дюрацию. Она отвечает на конкретный вопрос: примерно на сколько процентов изменится цена облигации, если её доходность к погашению вырастет или упадёт на 1% (точнее, на 1 процентный пункт)?
Формула несложная: дюрация Маколея делится на (1 + y). Здесь y — эффективная доходность к погашению в долях (10% — это 0,10), та самая ставка, по которой мы дисконтировали платежи. Для нашей облигации: 2,74 / 1,10 = 2,49.
Это значит, что если эта доходность вырастет на 1 процентный пункт, цена облигации упадёт примерно на 2,49%, то есть с 1 000 до ~975 ₽. Если доходность, наоборот, упадёт на 1 пункт, цена вырастет примерно на 2,49% — до ~1 025 ₽.
Это линейная аппроксимация, и работает она достаточно точно при небольших изменениях ставок. Если пересчитать цену по всем платежам, при доходности 11% выйдет 975,56 ₽, а при 9% — 1 025,31 ₽. В обоих случаях точная цена чуть выше оценки. При сильных движениях в игру вступает ещё один параметр — выпуклость (convexity). Она и объясняет эту разницу.
Сравним две облигации
Возьмём две бумаги с одинаковым купоном 10% и одинаковой доходностью к погашению 10%, но разным сроком до погашения.
| Облигация | Срок | Дюрация Маколея | Модифицированная дюрация |
|---|---|---|---|
| Короткая | 2 года | 1,91 | 1,74 |
| Длинная | 10 лет | 6,76 | 6,14 |
Если доходности обеих облигаций вырастут на 1 процентный пункт, модифицированная дюрация даёт такую оценку:
- Короткая бумага подешевеет примерно на 1,7% — с 1 000 до ~983 ₽.
- Длинная бумага упадёт примерно на 6,1% — с 1 000 до ~939 ₽ (точный пересчёт по всем платежам даёт около 941 ₽, разницу объясняет выпуклость).
Одно и то же движение ставки — а разница в потерях примерно в три с половиной раза. Именно поэтому, когда Банк России резко поднимает ключевую ставку, длинные облигации федерального займа (ОФЗ) проседают заметно сильнее коротких. Так было в 2024 году: с конца июля по конец октября ключевая ставка выросла с 16 до 21%. С 25 июля по 28 октября 2024 года длинная ОФЗ 26238 с погашением в 2041 году подешевела на 7,1%, с 52,55 до 48,83% номинала. Её дюрация на 25 июля была около 7,4 года. Короткая ОФЗ 26226 с погашением в 2026 году и дюрацией около 2 лет за то же время потеряла 3,6%, с 84,75 до 81,73% номинала (данные Московской биржи).
Что влияет на дюрацию
Дюрация облигации зависит от трёх основных факторов:
Срок до погашения. Чем больше срок до погашения, тем позже поступают денежные потоки — и тем выше дюрация. Это самый очевидный фактор.
Купонная ставка. Чем выше купон, тем раньше вы возвращаете деньги, тем ниже дюрация. Высококупонные бумаги реагируют на изменение ставок слабее, чем низкокупонные с тем же сроком.
Доходность к погашению. Чем выше доходность, тем сильнее дисконтируются дальние платежи, их вес в расчёте снижается, дюрация немного падает. Эффект менее очевиден, но он есть.
Зачем это нужно инвестору
Проще всего будет показать это на примерах.
Если вы ожидаете, что ставки вырастут, облигации с короткой дюрацией подешевеют меньше. К тому же деньги быстрее вернутся к вам, и их можно будет вложить под более высокую доходность.
Если ждёте снижения ставок, то длинная дюрация становится преимуществом. При падении ставок цена таких бумаг вырастет сильнее. Это то, чем пользуются управляющие при активной работе с портфелем облигаций. Но если прогноз не сбудется и ставки вырастут, длинные бумаги и подешевеют сильнее.
А если не хотите угадывать ставки, а просто нужно сохранить деньги к конкретной дате — можно подобрать облигации так, чтобы дюрация Маколея портфеля совпадала с вашим горизонтом инвестирования. Тогда рост ставок снизит цену, но увеличит доход от реинвестирования купонов. К нужной дате оба эффекта примерно скомпенсируют друг друга. В профессиональной среде эту стратегию называют иммунизацией. Развёрнуто об этом — в статье «Иммунизация портфеля».
Что в итоге
- Дюрация Маколея — средневзвешенный срок, за который облигация возвращает вложенные деньги, в годах.
- Модифицированная дюрация показывает, на сколько процентов примерно изменится цена облигации, если эффективная доходность к погашению сдвинется на 1 процентный пункт.
- Чем длиннее срок и ниже купон, тем выше дюрация и тем сильнее цена реагирует на изменение ставок.
- Если дюрация портфеля совпадает с горизонтом инвестирования, колебания ставок почти не меняют сумму, которая будет к нужной дате.
