Дюрация на примерах
Представьте, что вы дали человеку деньги в долг под проценты. Он платит вам, например, каждый месяц, а через полгода возвращает всю сумму долга.
А теперь вас спрашивают: когда вы получите свои деньги обратно? В конце или раньше?
Формально кажется, что вы получите свои деньги обратно в конце, т.е. когда вам вернут долг. Но если посмотреть внимательнее, то к концу у вас денег больше, чем было изначально.
В итоге получается, что математически деньги «вернулись» к вам раньше, чем через полгода.
Вот еще пример с фондового рынка: есть две облигации, обе с погашением через 5 лет. Первая — купонная, по ней вы получаете 10% в год. Вторая — бескупонная, вы получаете деньги только в конце. На первый взгляд, разницы между ними особой нет.
Но купонная облигация возвращает деньги постепенно, т.е. каждый год вы получаете часть вложенного капитала обратно. А вот по бескупонной облигации вы получаете деньги только в конце.
А если деньги возвращаются к вам намного позже, то они дольше остаются под влиянием рыночного риска, т.е. риска изменения ставок.
Иначе говоря, две облигации могут иметь одинаковый срок погашения, но деньги по ним возвращаются с разной скоростью — а значит, и риск изменения ставок они несут по-разному.
Дюрация Макалея
Концепцию придумал экономист Фредерик Макалей в 1938 году. Идея такая: не все денежные потоки облигации одинаково важны. Купон, который придёт через год, ценнее купона через пять лет — он поступит раньше, и его текущая стоимость выше.
Поэтому каждый платёж взвешивается по его доле в текущей цене облигации. Все взвешенные сроки суммируются. Получившееся число — дюрация Макалея — измеряется в годах.
Считаем на примере
Возьмём простую облигацию: номинал 1 000 ₽, купон 10% годовых (100 ₽ в год), срок 3 года, доходность к погашению тоже 10%. Поскольку купон равен доходности, облигация торгуется по номиналу — за 1 000 ₽.
Посчитаем дюрацию Макалея для каждого года:
- Год 1: 100 ₽ (купон)
- Год 2: 100 ₽ (купон)
- Год 3: 1 100 ₽ (купон + возврат номинала)
Теперь считаем приведённую стоимость каждого потока — дисконтируем по ставке 10%:
- Год 1: 100 / 1,10 = 90,91 ₽
- Год 2: 100 / 1,10² = 82,64 ₽
- Год 3: 1 100 / 1,10³ = 826,45 ₽
Сумма приведённых стоимостей = 1 000 ₽. Это и есть цена облигации.
Дальше каждому потоку присваиваем вес — его долю в цене:
- Год 1: 90,91 / 1 000 = 9,09%
- Год 2: 82,64 / 1 000 = 8,26%
- Год 3: 826,45 / 1 000 = 82,65%
И умножаем вес на номер года, в котором пришёл поток: 0,0909 × 1 + 0,0826 × 2 + 0,8265 × 3 = 2,74 года
Вот это число — 2,74 — и есть дюрация Макалея. Формально срок облигации 3 года, но из-за того, что первые два года вы получали купоны, «средневзвешенное» время возврата денег оказывается меньше — около 2,74 года.
У бескупонной облигации с тем же сроком дюрация Макалея была бы ровно 3 года — вы получаете всё одним платежом в конце.
Вывод: чем выше купон и чем выше доходность — тем ниже дюрация. Деньги возвращаются быстрее.
Модифицированная дюрация
Дюрация Макалея — полезная концепция, но для управления риском используют её производную — модифицированную дюрацию. Она отвечает на конкретный вопрос: на сколько процентов изменится цена облигации, если доходность вырастет или упадёт на 1% (точнее на 1 процентный пункт)?
Формула несложная: дюрация Макалея делится на (1 + доходность). Для нашей облигации: 2,74 / 1,10 = 2,49.
Это значит, что если доходность вырастет на 1%, цена облигации упадёт примерно на 2,49%, то есть с 1 000 до ~975 ₽. Если доходность, наоборот, упадёт на 1%, цена вырастет примерно на 2,49% — до ~1 025 ₽.
Это линейная аппроксимация, и работает она достаточно точно при небольших изменениях ставок. При сильных движениях в игру вступает ещё один параметр — выпуклость (convexity), но это тема отдельной статьи.
Сравним две облигации
Возьмём две облигации с одинаковым сроком и доходностью к погашению, но разным купоном. Первая — купонная, по ней вы получаете 10% в год. Вторая — бескупонная, вы получаете деньги только в конце.
Теперь тот же приём на двух бумагах с одинаковым купоном 10% и одинаковой доходностью 10%, но разным сроком до погашения.
| Облигация | Срок | Дюрация Макалея | Модифицированная дюрация |
|---|---|---|---|
| Короткая | 2 года | 1,91 | 1,74 |
| Длинная | 10 лет | 6,76 | 6,14 |
Если ставки вырастут на 1%:
- Короткая бумага подешевеет примерно на 1,7% — с 1 000 до ~983 ₽.
- Длинная бумага упадёт примерно на 6,1% — с 1 000 до ~939 ₽.
Одно и то же движение ставки — а разница в потерях почти в четыре раза. Именно поэтому, когда ЦБ резко поднимает ключевую ставку, длинные ОФЗ проседают заметно сильнее коротких.
Что влияет на дюрацию
Дюрация облигации зависит от трёх основных факторов:
Срок до погашения.Чем дольше обращается облигация, тем позже поступают денежные потоки — и тем выше дюрация. Это самый очевидный фактор.
Купонная ставка.Чем выше купон, тем раньше вы возвращаете деньги, тем ниже дюрация. Высококупонные бумаги реагируют на изменение ставок слабее, чем низкокупонные с тем же сроком.
Доходность к погашению.Чем выше доходность, тем сильнее дисконтируются дальние купоны, их вес в расчёте снижается, дюрация немного падает. Эффект менее очевиден, но он есть.
Зачем это нужно инвестору
Проще всего будет показать это на примерах.
Если вы ожидаете, что ставки вырастут, держите облигации с короткой дюрацией. Их цены упадут меньше. К тому же деньги быстрее вернутся к вам, и вы сможете реинвестировать под более высокую доходность.
Если ждёте снижения ставок, то длинная дюрация становится преимуществом. При падении ставок цена таких бумаг вырастет сильнее. Это то, чем пользуются управляющие при активной работе с портфелем облигаций.
А если не хотите угадывать ставки, а просто нужно сохранить деньги к конкретной дате — подбирайте облигацию так, чтобы её дюрация совпадала с вашим горизонтом инвестирования. Тогда рост ставок снизит цену, но увеличит доходность реинвестируемых купонов. Оба эффекта примерно скомпенсируют друг друга. В профессиональной среде эту стратегию называют иммунизацией.
