Модель Блэка — Шоулза
Обновлено:
Модель Блэка — Шоулза — это математическая модель ценообразования опционов: она даёт формулу теоретической цены европейского опциона, то есть опциона, исполнить который можно только в дату экспирации. Цена считается из пяти величин: цены базового актива, страйка, срока до экспирации, безрисковой ставки и волатильности. Формулу опубликовали Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1973 году, и её варианты до сих пор лежат в основе расчёта теоретических цен опционов, в том числе на Московской бирже.
Статья Блэка и Шоулза «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» вышла в 1973 году в Journal of Political Economy. В том же году Роберт Мертон опубликовал работу, где вывел ту же формулу другим способом и обобщил её, поэтому модель называют и моделью Блэка — Шоулза — Мертона. Совпало и время: Чикагская биржа опционов (CBOE) начала торговать опционами в апреле 1973 года, за месяц до публикации формулы. В 1997 году Мертон и Шоулз получили за этот метод премию по экономике памяти Альфреда Нобеля. Фишер Блэк не дожил до неё: он умер в 1995 году, а по уставу Нобелевского фонда с 1974 года премию посмертно не присуждают.
Модель Блэка — Шоулза простыми словами
Страховщик, который продаёт полис от пожара, считает его цену по понятным вещам: сколько стоит дом, какая франшиза, на какой срок полис и как часто в округе горят дома. Опцион похож на такой полис, только страхует он от движения цены. Роль франшизы играет страйк, срок полиса — срок до экспирации, а частоту пожаров заменяет волатильность, то есть размах колебаний цены.
Главная находка Блэка, Шоулза и Мертона в том, что для цены опциона не нужно знать, вырастет ли акция и насколько рынок любит риск. Если держать акции и продавать против них опционы в правильной пропорции, небольшие движения цены в таком портфеле взаимно гасятся. Портфель становится безрисковым, а значит, должен приносить безрисковую ставку, иначе на разнице можно было бы зарабатывать без риска. Из этого условия и выводится формула.
Четыре из пяти входов формулы видны на рынке: цена актива, страйк, срок и ставка. Пятый, волатильность, заранее неизвестен — это ожидание того, как сильно цена будет колебаться до экспирации. Поэтому формулу используют и в обратную сторону: подставляют рыночную цену опциона и находят волатильность, которую рынок в неё заложил. Её называют подразумеваемой волатильностью, и по ней удобно сравнивать опционы с разными страйками и сроками.
Что значат N(d1) и N(d2) в формуле Блэка — Шоулза
Цена колла по формуле — разность двух слагаемых. Первое, S × N(d1), — ожидаемая стоимость акции, которую покупатель получит при исполнении, в сегодняшних деньгах. Второе, K × e^(−rT) × N(d2), — ожидаемая плата за неё: страйк, приведённый к сегодняшнему дню по безрисковой ставке и умноженный на вероятность исполнения. Обе величины «ожидаемые» в особом, риск-нейтральном смысле. Пут считают зеркально или через паритет колла и пута: P = C + K × e^(−rT) − S.
N(x) — функция стандартного нормального распределения, она переводит число в вероятность от 0 до 1. N(d2) — вероятность того, что колл к экспирации окажется в деньгах, только посчитанная в «риск-нейтральном» мире, где любой актив в среднем растёт со скоростью безрисковой ставки. С реальной вероятностью она совпадает, только если ожидаемая доходность акции равна безрисковой ставке. N(d1) — дельта колла: на сколько изменится цена опциона, если базовый актив подорожает на рубль. Именно через N(d1) считает дельту опционов и Московская биржа.
Как каждый вход двигает цену опциона, видно по самой формуле.
| Если растёт… | Колл | Пут |
|---|---|---|
| Цена базового актива | Дорожает | Дешевеет |
| Страйк | Дешевеет | Дорожает |
| Волатильность | Дорожает | Дорожает |
| Безрисковая ставка | Дорожает | Дешевеет |
| Срок до экспирации | Дорожает | Обычно дорожает |
При прочих равных, для европейских опционов на акции без дивидендов. Европейский пут глубоко «в деньгах» при высокой ставке может с ростом срока и дешеветь: деньги от продажи по страйку приходят позже.
На каких допущениях держится модель и где они ломаются
Блэк и Шоулз прямо перечислили в статье «идеальные условия», при которых формула верна. На реальном рынке ни одно из них не выполняется полностью. Часть допущений позже ослабили: в научном обзоре к Нобелевской премии 1997 года перечислено, что в современных моделях ставка может быть случайной, волатильность — меняться во времени, в движении цены бывают скачки, а у сделок есть издержки.
| Допущение модели | Что на практике |
|---|---|
| Безрисковая ставка известна и не меняется до экспирации | Ставки меняются, в том числе резко — например, вслед за ключевой ставкой |
| Волатильность постоянна, цена распределена логнормально и движется без скачков | Волатильность меняется, бывают гэпы и обвалы; у опционов с разными страйками рынок закладывает разную волатильность |
| Акция не платит дивидендов | Дивиденды снижают цену акции; в методике Московской биржи из цены вычитают приведённую стоимость ожидаемых до экспирации дивидендов |
| Опцион европейский: исполняется только в дату экспирации | Маржируемые опционы на фьючерсы на Московской бирже — американские, их можно исполнить раньше |
| Нет комиссий и других издержек, перестраивать позицию можно непрерывно | Есть комиссии и спред, а хедж перестраивают время от времени, поэтому он неидеален |
| Можно занимать по безрисковой ставке и без ограничений продавать в шорт | Заём обходится дороже безрисковой ставки, у коротких продаж есть ограничения и плата |
Допущения — по статье Блэка и Шоулза 1973 года (раздел The Valuation Formula). Про Московскую биржу — по методике расчёта теоретической цены опциона и коэффициента «дельта» (версия файла на moex.com от 20 сентября 2024 года), проверено 7 октября 2026 года.
Подразумеваемая волатильность и улыбка волатильности
Подразумеваемая волатильность — это σ, при которой цена по формуле совпадает с рыночной ценой опциона. Её находят подбором, потому что выразить σ из формулы напрямую нельзя. По сути, это цена опциона, пересчитанная в проценты годовой волатильности.
Если бы модель описывала рынок точно, у всех опционов на один актив с одной датой экспирации подразумеваемая волатильность была бы одинаковой. На деле она меняется от страйка к страйку. Нанесённая на график, эта кривая изгибается вверх к краям, как улыбка, или задирается с одной стороны — тогда говорят о перекосе (skew). Биржевой оператор Cboe в материале 2010 года об индексе SKEW пишет, что у опционов на американский индекс S&P 500 кривая перекосилась в сторону путов после обвала октября 1987 года: инвесторы с тех пор ценят путы с низкими страйками дороже коллов с высокими, потому что обвал напомнил рынку о возможности резких скачков вниз.
В том же материале Cboe объясняет перекос тем, что цены движутся скачками и у распределения доходностей толстые хвосты, а модель с нормальным распределением этого не видит. Поэтому на практике формулу Блэка — Шоулза оставляют, но волатильность в неё подставляют свою для каждого страйка, с кривой волатильности. Ожидаемую волатильность рынка в целом биржевые операторы сводят в индексы: по опционам на S&P 500 считают VIX, по опционам на фьючерс на индекс РТС — российский RVI.
Как Московская биржа считает теоретическую цену опционов
На срочном рынке Московской биржи теоретическую цену опциона считают по одной из двух моделей — Блэка — Шоулза или Башелье. Какую из них применять, биржа устанавливает для каждого базового актива: так сказано в методике расчёта лимитов цен опционов на moex.com на 7 октября 2026 года. Модель Башелье восходит к диссертации французского математика Луи Башелье 1900 года — одной из первых попыток оценить опцион. Цена в ней может уходить ниже нуля, и для акций это считали недостатком, а для фьючерсов, цены которых бывают отрицательными, это свойство пригодилось.
Для премиальных опционов биржа уменьшает цену базового актива на приведённую стоимость ожидаемых и объявленных дивидендов до экспирации. Для премиальных опционов на курсы валют и индексы в формулу добавляют вторую ставку: безрисковую ставку по базовой валюте или ставку дивидендной доходности индекса. Вариант модели для фьючерсов Фишер Блэк описал в статье 1976 года «The Pricing of Commodity Contracts».
Вокруг теоретической цены биржа строит коридор допустимых цен заявок, чтобы отсечь сделки по ошибке; участник торгов может отключить эту проверку для своих заявок. Для трейдера теоретическая цена — ориентир: рыночная цена опциона может от неё отличаться.
Модель Блэка — Шоулза: формула расчёта
Модель Блэка — Шоулза: расчёт по шагам
Акция стоит 100 ₽, страйк опциона — 100 ₽, до экспирации год, безрисковая ставка — 10% годовых, волатильность — 20%. Цифры условные.
- 1d1 и d2d1 = (ln(100 / 100) + (0,1 + 0,2² / 2) × 1) / (0,2 × √1) = (0 + 0,12) / 0,2 = 0,6; d2 = 0,6 − 0,2 = 0,4
- 2N(d1) и N(d2)N(0,6) ≈ 0,7257; N(0,4) ≈ 0,6554
- 3Цена колла100 × e^(−0,1) ≈ 90,48; C = 100 × 0,7257 − 90,48 × 0,6554 ≈ 72,57 − 59,30 = 13,27 ₽
- 4Цена пута через паритетP = 13,27 + 90,48 − 100 = 3,75 ₽
Колл «на деньгах» стоит 13,27 ₽, пут — 3,75 ₽. Колл дороже, потому что при ставке 10% форвардная цена акции — около 110,5 ₽, выше страйка. Дельта колла — N(d1) ≈ 0,73: если акция подорожает на 1 ₽, колл подорожает примерно на 73 копейки. N(d2) ≈ 0,66 — риск-нейтральная вероятность того, что колл будет исполнен.
Модель Блэка — Шоулза на примере
Цифры условные. Мария смотрит на колл с теми же параметрами, что в расчёте: акция 100 ₽, страйк 100 ₽, год до экспирации, ставка 10%. По формуле при волатильности 20% он стоит 13,27 ₽, а на рынке за него просят 16 ₽. Мария подбирает волатильность, при которой формула даёт 16 ₽, и получает около 27,9%. Значит, продавцы закладывают колебания акции почти в 1,4 раза сильнее, чем предполагала она.
Потом Мария открывает путы той же серии и видит, что у пута со страйком 80 ₽ подразумеваемая волатильность около 33%, заметно выше, чем у колла «на деньгах»: за защиту от обвала рынок берёт больше. Это и есть перекос волатильности. Дёшев опцион или дорог, формула сама не скажет. Она переводит цену в волатильность, а решать, много это или мало, приходится трейдеру.
Модель Блэка — Шоулза: главное
- Модель Блэка — Шоулза даёт цену европейского опциона по пяти входам: цене актива, страйку, сроку, безрисковой ставке и волатильности
- Формулу опубликовали Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1973 году; в 1997 году Роберт Мертон и Шоулз получили за этот метод премию по экономике памяти Альфреда Нобеля
- N(d1) — дельта колла, N(d2) — риск-нейтральная вероятность того, что колл будет исполнен
- Единственный ненаблюдаемый вход — волатильность; решая формулу в обратную сторону, получают подразумеваемую волатильность
- Модель предполагает постоянную волатильность и движение цены без скачков, поэтому на рынке возникает улыбка волатильности
- Московская биржа считает теоретическую цену опциона по модели Блэка — Шоулза или Башелье, в зависимости от базового актива
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Это формула, которая считает справедливую цену опциона — права купить или продать актив по заранее оговорённой цене. На вход ей нужны пять величин: цена актива, страйк (цена исполнения), время до экспирации, безрисковая ставка и волатильность, то есть размах колебаний цены. Чем выше волатильность, тем дороже опцион: у цены больше шансов уйти далеко от страйка. Формулу опубликовали Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1973 году, и её варианты до сих пор используют биржи, в том числе Московская.
Хватит нескольких ячеек. Пусть в B1 — цена акции S, в B2 — страйк K, в B3 — ставка r в долях (10% = 0,1), в B4 — волатильность σ в долях, в B5 — срок T в годах. Тогда в B6 считаем d1: =(LN(B1/B2)+(B3+B4^2/2)*B5)/(B4*КОРЕНЬ(B5)), в B7 — d2: =B6-B4*КОРЕНЬ(B5). Цена колла: =B1*НОРМ.СТ.РАСП(B6;ИСТИНА)-B2*EXP(-B3*B5)*НОРМ.СТ.РАСП(B7;ИСТИНА). Цена пута: =B2*EXP(-B3*B5)*НОРМ.СТ.РАСП(-B7;ИСТИНА)-B1*НОРМ.СТ.РАСП(-B6;ИСТИНА). Функция НОРМ.СТ.РАСП с аргументом ИСТИНА возвращает значение функции стандартного нормального распределения N(x). Для проверки: при S = K = 100, r = 0,1, σ = 0,2 и T = 1 колл стоит около 13,27, пут — около 3,75.
По сути, это одна и та же модель. Фишер Блэк и Майрон Шоулз опубликовали формулу в 1973 году, а Роберт Мертон в том же году вывел её другим способом — из того, что на рынке не должно быть безрискового заработка, то есть арбитража, — и обобщил, например, на случай случайной ставки. Поэтому встречаются оба названия. В 1997 году премию по экономике памяти Альфреда Нобеля за этот метод получили Мертон и Шоулз; Фишер Блэк к тому времени умер.
Это дифференциальное уравнение в частных производных, которому подчиняется цена опциона, если портфель из акций и опционов постоянно перестраивать так, чтобы он оставался безрисковым. Раз риска нет, такой портфель должен приносить безрисковую ставку, и из этого условия получается уравнение. Формула Блэка — Шоулза — его решение для европейского колла. Для других контрактов то же уравнение даёт другие формулы, а иногда его решают только численно.
Первая причина — волатильность: в формулу подставили одну, а рынок закладывает другую. Свою роль играют и допущения модели. Она считает волатильность постоянной, а движение цены плавным, без скачков, тогда как реальные цены прыгают, и после обвалов участники платят за защиту больше. Ещё модель не учитывает комиссии, спред и ограничения на короткие продажи. Поэтому формулу используют и в обратную сторону: по рыночной цене находят подразумеваемую волатильность для каждого страйка и сравнивают опционы уже по ней.
Ту, которую вы ожидаете до экспирации, а её никто не знает наверняка. Ориентиров два. Историческая волатильность — стандартное отклонение прошлых доходностей актива, приведённое к году. Подразумеваемая — та, что заложена в текущие рыночные цены опционов: её находят подбором по цене опциона, а для рынка в целом смотрят индексы волатильности, например RVI — индекс, который Московская биржа считает по опционам на фьючерс на индекс РТС. Если с исторической волатильностью формула даёт цену ниже рыночной, значит, рынок ждёт более сильных колебаний, чем были в прошлом.
