Критерий Келли
Обновлено:
Критерий Келли — это формула, которая определяет, какую долю капитала ставить на одну сделку или пари, чтобы капитал рос быстрее всего на длинной серии. Для трейдинга её записывают как f = W − (1 − W) / R, где W — доля прибыльных сделок (win rate), а R — отношение средней прибыли к среднему убытку. Формула показывает верхнюю границу риска и верна, только если вероятности известны точно, поэтому на практике ставят меньше, например половину Келли.
Келли опубликовал статью «A New Interpretation of Information Rate» («Новое толкование скорости передачи информации») в июльском номере Bell System Technical Journal за 1956 год. Он связал ставки с теорией информации Клода Шеннона: игрок, который получает подсказки по каналу с помехами, может растить капитал по экспоненте, и наибольший темп роста равен скорости передачи информации по каналу. Эдвард Торп узнал о статье от Шеннона в 1960 году в Массачусетском технологическом институте, применил формулу в блэкджеке и описал её в книге «Beat the Dealer» («Обыграй дилера», 1962).
Критерий Келли простыми словами
Можно иметь систему, которая в среднем зарабатывает, и всё равно обнулить с ней счёт. Достаточно ставить слишком много. Если в каждой сделке рисковать всем капиталом, одного убытка хватит, чтобы выйти из игры, сколько бы побед ему ни предшествовало. Если рисковать копейками, счёт выживет, но расти будет еле-еле. Между этими крайностями есть доля, при которой капитал растёт быстрее всего. Её и находит формула Келли.
Келли в 1956 году показал, что игроку с преимуществом выгодно каждый раз ставить фиксированную долю текущего капитала и выбирать её так, чтобы максимизировать ожидаемый логарифм капитала, то есть средний темп роста в серии ставок. Ставка всего капитала максимизирует ожидаемый выигрыш, но, как писал Келли, в бесконечной игре такой игрок с вероятностью единица разорится. Для пари с равными выплатами ответ простой: доля равна вероятности выигрыша минус вероятность проигрыша. При вероятности выигрыша 55% это 55% − 45% = 10% капитала.
Темп роста как функция ставки похож на холм. До вершины он растёт, после неё снижается и часто примерно при удвоенной доле Келли падает до нуля, а дальше капитал в среднем тает, хотя каждая сделка по-прежнему выгодна. Ошибиться в сторону меньшей ставки дешевле, чем в сторону большей. Поэтому Эдвард Торп, который применял критерий в блэкджеке и на рынке ценных бумаг, советует ставить меньше расчётного, если вероятности известны неточно. В трейдинге их приходится оценивать по прошлым сделкам, поэтому такой запас там особенно уместен.
Формула Келли для трейдинга и для ставок
Общий вид формулы: f = (b × p − q) / b, где p — вероятность выигрыша, q = 1 − p — вероятность проигрыша, b — сколько вы получаете на рубль ставки при выигрыше, а при проигрыше ставка теряется целиком. Числитель — средний результат на рубль ставки. Если он нулевой или отрицательный, формула отвечает: не ставить вообще.
В трейдинге p — это win rate, доля прибыльных сделок, а b — отношение средней прибыли к среднему убытку (R). Тогда формула превращается в f = W − (1 − W) / R. Подстановка точна, если каждая сделка заканчивается либо средней прибылью, либо средним убытком; когда результаты сделок сильно разбросаны, это приближение. Результат — доля капитала, которую вы потеряете, если сделка закроется по стоп-лоссу, то есть риск на сделку. Объём позиции из неё считают отдельно: количество бумаг = капитал × f / |цена входа − стоп|.
В ставках на спорт b — это десятичный коэффициент минус единица. При коэффициенте 2,10 и вашей оценке вероятности исхода 50% получится (1,1 × 0,5 − 0,5) / 1,1 ≈ 4,5% банка. Всё держится на вашей оценке: если она равна вероятности, которую задаёт сам коэффициент, 1 / 2,10 ≈ 47,6%, числитель обнуляется, и ставить нечего.
Почему полный Келли опасен
Первая причина в том, что оценка может оказаться ошибочной. Win rate по 40–50 сделкам — грубая прикидка, и если реальное преимущество меньше оценённого, полная ставка по Келли превращается в завышенную. Торп разобрал это на модели: если переоценить преимущество вдвое и ставить полного Келли по такой оценке, капитал в среднем перестаёт расти и колеблется вокруг начального уровня со всё большим размахом. А если при той же переоценке поставить ещё и в полтора раза больше расчётного, игрок разорится.
Вторая причина в сериях: даже у прибыльной системы бывают полосы убытков подряд, и при крупной доле каждая сильно бьёт по счёту. По нашему расчёту, при win rate 40% вероятность хотя бы раз получить пять убыточных сделок подряд за 100 сделок — около 98%. Если в каждой рисковать 16% капитала, пять убытков подряд оставят от счёта 42%.
Третья причина в допущениях: формула считает сделки независимыми, а вероятности — постоянными. На рынке режимы меняются, и стратегия, которая работала в тренде, в боковике может начать терять.
Половина Келли: что теряете и что получаете
Если ставить половину доли Келли, темп роста капитала в модели Торпа снижается на четверть, до 75% от наибольшего. Зато вероятность хотя бы раз потерять половину капитала падает с 50% до 12,5%. Торп пишет, что, судя по его опыту и рассказам многих игроков в блэкджек, большинство людей предпочитает половину Келли или близкую к ней долю. Четверть роста они отдают за спокойствие на просадках и за запас на случай, если преимущество оценено с избытком.
| Доля от ставки Келли | Темп роста капитала, % от наибольшего | Вероятность хотя бы раз потерять половину капитала |
|---|---|---|
| 0,25 | 44% | 0,8% |
| 0,5 (половина Келли) | 75% | 12,5% |
| 1 (полный Келли) | 100% | 50% |
| 1,5 | 75% | 79% |
| 2 | 0% | 100% |
Расчёт по формулам непрерывного приближения из главы Эдварда Торпа «The Kelly Criterion in Blackjack Sports Betting, and the Stock Market» в Handbook of Asset and Liability Management (2006). При нулевой безрисковой ставке темп роста при доле c от ставки Келли равен c × (2 − c) от наибольшего, вероятность когда-либо опуститься до половины начального капитала — 0,5 в степени (2 / c − 1). Модель идеализированная: позицию подстраивают непрерывно, а параметры известны точно.
Критерий Келли: формула расчёта
Критерий Келли: расчёт по шагам
По журналу сделок стратегия выигрывает в 55% случаев, а средняя прибыль в 1,5 раза больше среднего убытка. Цифры условные.
- 1Средний результат на 1 ₽ риска0,55 × 1,5 − 0,45 = 0,375 ₽
- 2Доля Келли0,55 − 0,45 / 1,5 = 0,55 − 0,30 = 0,25
- 3Половина Келли0,25 / 2 = 0,125
Полный Келли разрешает рисковать 25% капитала в одной сделке, половина — 12,5%. При счёте 1 000 000 ₽ это 250 000 ₽ и 125 000 ₽ убытка, если сработает стоп. Даже половина Келли здесь в 12,5 раза больше ориентира в 1% на сделку из нашей статьи о риске на позицию. Формула показывает предел, а сколько рисковать ниже него, решает сам трейдер.
Критерий Келли на примере
Лиза провела по своей стратегии 40 сделок: 16 прибыльных, то есть win rate 40%, средняя прибыль в 2,5 раза больше среднего убытка. Формула Келли даёт 0,40 − 0,60 / 2,5 = 0,16, или 16% капитала на сделку. Цифры условные.
40 сделок — маленькая выборка, и настоящий win rate вполне может оказаться 35%. Тогда правильная доля — 0,35 − 0,65 / 2,5 = 9%, и ставка в 16% почти вдвое её превышает. По нашему расчёту, капитал в такой ситуации растёт в среднем на 0,44% за сделку при риске 16% против 0,98% при 9%. Половина Келли от оценки Лизы, 8%, дала бы 0,97% — почти максимум.
Если же оценка Лизы верна, половина Келли даёт в среднем 2,3% роста за сделку против 3,0% при полном Келли. Лиза выбирает 8%: при ошибке в оценке она почти ничего не теряет, а пять убытков подряд срежут счёт на 34% вместо 58%.
Критерий Келли: главное
- Критерий Келли: f = W − (1 − W) / R — доля капитала под риском в одной сделке
- Формула максимизирует средний темп роста капитала на длинной серии сделок
- Ставка больше доли Келли рост замедляет; часто примерно при удвоенной доле он падает до нуля
- Половина Келли сохраняет 75% темпа роста и снижает вероятность когда-либо потерять половину капитала с 50% до 12,5% (модель Торпа)
- Win rate и отношение прибыли к убытку оценивают по прошлым сделкам, поэтому полный Келли легко оказывается завышенным
Критерий Келли: распространённые заблуждения
| Миф | Реальность |
|---|---|
Критерий Келли показывает, на какую сумму открыть позицию | Он показывает долю капитала, которую можно потерять при срабатывании стопа. Объём позиции зависит ещё от расстояния до стопа: при риске 5% капитала и стопе в 10% от цены входа позиция составит половину счёта. |
Чем больше ставишь в выгодной системе, тем быстрее растёт счёт | Только до доли Келли. Дальше рост замедляется, примерно при удвоенной доле останавливается, а ещё выше капитал в среднем сокращается, хотя каждая сделка остаётся выгодной. |
Связанные термины
Материалы по теме
Часто задаваемые вопросы
Это формула, которая подсказывает, какую часть капитала ставить на одну сделку или пари, если у вас есть преимущество. Если ставить больше, серия неудач может сильно подорвать счёт, а если меньше, капитал растёт медленнее, чем мог бы. Формулу опубликовал Келли в 1956 году. В трейдинге её считают по доле прибыльных сделок (win rate) и отношению средней прибыли к среднему убытку.
Возьмите статистику своих сделок: долю прибыльных W и отношение средней прибыли к среднему убытку R. Посчитайте f = W − (1 − W) / R — это доля капитала, которую вы теряете, если сделка закрывается по стоп-лоссу. Затем переведите её в объём позиции: количество бумаг = капитал × f / |цена входа − стоп|. Так как W и R — оценки по прошлому, на практике берут долю меньше расчётной, например половину.
Это ставка в половину доли, которую даёт формула Келли. По расчётам Эдварда Торпа в модели с непрерывной торговлей она сохраняет 75% наибольшего темпа роста капитала, а вероятность когда-либо потерять половину капитала снижает с 50% до 12,5%. Ещё она оставляет запас на случай, если преимущество системы оценено с избытком.
Это значит, что у системы по этим цифрам нет преимущества: средний результат сделки с учётом убытков нулевой или отрицательный. Формула советует не торговать такую систему вообще. Например, при win rate 40% и отношении средней прибыли к среднему убытку 1,2 получится 0,40 − 0,60 / 1,2 = −0,10.
Можно. У Эдварда Торпа есть вариант для непрерывно торгуемого актива: доля капитала в нём равна ожидаемой доходности сверх безрисковой ставки, делённой на дисперсию доходности. Если от индекса ждут на 6 процентных пунктов больше безрисковой ставки при стандартном отклонении доходности 25%, доля равна 0,06 / 0,25² = 0,96, то есть почти весь капитал (цифры условные). Ожидаемую доходность рынка никто не знает точно, а доля выше единицы означает покупку с плечом, поэтому и здесь осторожнее брать часть расчётной доли.
Формула выросла из теории информации, а в блэкджеке её применил Эдвард Торп и описал в книге «Beat the Dealer» («Обыграй дилера», 1962). В главе 2006 года Торп разбирает применение критерия к ставкам на спорт и к рынку ценных бумаг. В ставках b в формуле — десятичный коэффициент минус единица, p — ваша оценка вероятности исхода, и от точности этой оценки зависит всё.
