Приведённая стоимость

Откуда берётся разница в стоимости денег во времени

Вернёмся к выбору из вступления: 100 000 сегодня или 130 000 через три года. Интуитивно кажется, что 130 000 больше, значит и выгоднее. Но представьте, что вместо ожидания вы кладёте 100 000 на вклад под 10% годовых. Через три года на счету будет 100 000 × 1,10³ ≈ 133 100. То есть синица в руке оказалась жирнее журавля в небе: 133 100 против 130 000.

Получается, одна и та же сумма в разные моменты времени стоит по-разному. И на это работают сразу три причины, каждая из которых самостоятельная.

Деньги сегодня можно вложить. Положить на вклад, купить облигации, инвестировать в свой бизнес. Именно это мы только что и проделали в примере с вкладом: отказываясь от денег сегодня в пользу той же суммы через три года, вы добровольно отказываетесь и от тех 33 100, что могли бы заработать за это время.

Будущую сумму съест инфляция. Цены вырастут, а номинал не изменится. На те же 100 000 через три года уже не купишь столько же товаров и услуг, сколько сегодня. Пока цены растут, покупательная способность денег падает.

Будущее в принципе непредсказуемо. Вам обещали отдать сумму через три года, но кто гарантирует, что отдадут? Контрагент может обанкротиться, банк может потерять лицензию, законы могут поменяться. Чем дальше во времени обещание, тем выше шанс, что оно не сбудется.

Все три причины приводят к одному выводу: деньги в будущем стоят меньше, чем деньги сегодня. И чтобы корректно сравнивать суммы из разных моментов времени, нужна какая-то общая мера. Этой мерой и будет приведённая стоимость.

Что такое приведённая стоимость

Если совсем по-простому, приведённая стоимость (PV, от англ. Present Value) отвечает на вопрос: сколько стоит сегодня сумма, которую вы получите когда-то в будущем?

Вопрос обратный к привычному. Обычно мы спрашиваем: «сколько я получу через N лет, если вложу столько-то под такую-то ставку?». Это расчёт будущей стоимости. А здесь наоборот: «получу столько-то через N лет, а сколько это уже сегодня?».

Операция, которая переводит будущую сумму в сегодняшнюю, называется дисконтированием. Мы как бы откатываем будущий платёж назад во времени.

Формула выглядит так:

PV = FV / (1 + r)ⁿ

Здесь FV это будущая сумма (Future Value), r это ставка дисконтирования за один период, а n это количество периодов до получения денег.

Знаменатель (1 + r)ⁿ — тот же множитель, что и в формуле сложного процента, только здесь на него делят. Если умножение на (1 + r)ⁿ превращает сегодняшнюю сумму в будущую, то деление на (1 + r)ⁿ превращает будущую в сегодняшнюю. Обратную дробь 1 / (1 + r)ⁿ называют коэффициентом дисконтирования: на него умножают будущую сумму, чтобы получить PV.

Считаем на примере

Допустим, через 3 года вам должны вернуть 1 000 000. Пусть сопоставимые вложения приносят 12% годовых. Сколько эта будущая сумма стоит сегодня?

PV = 1 000 000 / (1 + 0,12)³ = 1 000 000 / 1,404928 ≈ 711 780

Что это значит? Если у вас сегодня есть 711 780 и вы вкладываете их под 12% на 3 года, через 3 года у вас будет ровно миллион. То есть с точки зрения денег эти две суммы, 711 780 сегодня и 1 000 000 через 3 года, абсолютно эквивалентны при ставке 12%. Они одинаково стоят.

Теперь посмотрим, как меняется PV миллиона через 3 года при разных ставках:

Чем выше ставка, тем дешевле сегодня стоит будущий миллион. Если деньги легко наращивать (ставки высокие), то для получения миллиона через 3 года достаточно вложить меньше. Если ставки низкие, будущая сумма становится «ближе» к сегодняшней по стоимости.

Кстати, отсюда же видно, как ставки двигают цены облигаций. Когда доходности на рынке снижаются, будущие купоны и номинал облигации дисконтируются под меньшую ставку, и их сегодняшняя стоимость растёт. Вместе с ней растёт и цена облигации, причём у длинных выпусков сильнее: чем дальше платёж, тем больше он зависит от ставки. Снижение ключевой ставки Центрального банка (ЦБ) может потянуть доходности вниз. Ключевая ставка — это процент, под который ЦБ кредитует банки и принимает у них депозиты. Но связь не прямая: на длинные облигации влияет ещё и то, какую ставку рынок ждёт на годы вперёд.

Откуда брать ставку дисконтирования

Мы только что увидели, что результат расчёта целиком зависит от ставки: при 5% миллион стоит 864 тысячи, при 20% уже 579 тысяч. Разница почти в полтора раза, и это всё на одной и той же будущей сумме. Получается, прежде чем считать PV, нужно откуда-то взять правильную ставку.

Первая ставка, что под рукой, не годится: ни та, под которую вам обещают платёж, ни «средняя по рынку», ни «ставка ЦБ». Правильная ставка — это доходность, которую вы могли бы получить из альтернативных вложений с похожим уровнем риска. По-научному её называют альтернативной стоимостью капитала.

Звучит абстрактно, поэтому на пальцах. Если вам предлагают вложить деньги в проект с гарантированным возвратом, ставка дисконтирования должна быть примерно равна доходности по облигациям федерального займа (ОФЗ) или вкладу в надёжном банке. Потому что именно туда можно было бы вложить деньги почти без риска. А если проект рискованный, ставка должна быть выше, и насколько именно выше, зависит от того, насколько выше риск.

Несколько ориентиров:

Безрисковая ставка. Доходность ОФЗ с подходящим сроком или ставка вклада в крупном банке. Подходит, если поток денег почти гарантированный.

Ставка с поправкой на риск. К безрисковой ставке прибавляется премия за риск. Чем рискованнее объект (стартап вместо ОФЗ, акция вместо облигации), тем выше эта премия.

Стоимость капитала компании. Если внутри бизнеса оценивают, стоит ли запускать проект, в качестве ставки берут средневзвешенную стоимость собственного и заёмного капитала компании (показатель WACC).

Главный принцип такой: чем выше риск, тем выше должна быть ставка дисконтирования и тем сильнее «ужимается» будущая сумма. Чем дальше платёж, тем сильнее он «ужимается» и при той же ставке: в формуле растёт степень n. Если посчитать рисковый поток по безрисковой ставке, PV получится завышенной, и решение можно принять неправильное.

Серия платежей

В реальной жизни единственный платёж в будущем редкость. Чаще встречается серия: купоны по облигации каждые полгода, арендные платежи каждый месяц, пенсия каждый месяц до конца жизни. Принцип всё тот же: каждый отдельный платёж дисконтируется самостоятельно, и потом результаты складываются.

Например, вам обещают платить по 100 000 в конце каждого из ближайших трёх лет. Ставка дисконтирования 10%. Сколько эта серия стоит сегодня?

• Год 1: 100 000 / 1,10 ≈ 90 909
• Год 2: 100 000 / 1,10² ≈ 82 645
• Год 3: 100 000 / 1,10³ ≈ 75 131

Складываем и получаем приведённую стоимость всей серии: 248 685.

Заметьте интересную вещь. Номинально вам выплатят 300 000 за три года, но сегодня этот поток стоит всего около 249 000. Разница в 51 000 это и есть та самая «потеря» от ожидания, которую мы интуитивно чувствовали в самом начале, но не могли посчитать.

Именно так и устроена оценка облигаций, кстати. Цена облигации это сумма приведённых стоимостей всех её будущих купонов плюс приведённая стоимость номинала, который придёт в дату погашения. И когда вы видите в приложении брокера «доходность к погашению», по сути вам показывают ту самую ставку дисконтирования, при которой эта сумма PV равна текущей цене облигации вместе с накопленным купонным доходом (НКД). НКД — часть купона, которая набежала с последней выплаты: её покупатель доплачивает продавцу.

А если проценты начисляют чаще, чем раз в год

Бывает так, что ставка указана годовая, но проценты начисляются чаще: раз в полгода, раз в квартал, раз в месяц. Формула чуть-чуть меняется. Вместо годовой ставки используем ставку за один период, а вместо количества лет количество этих периодов.

Например, ставка 8% годовых с ежемесячным начислением означает, что фактически каждый месяц на сумму начисляется 8/12 ≈ 0,67%, и так 12 раз в году. За счёт того, что начисленные проценты сами начинают приносить проценты уже внутри года, эффективная годовая доходность получается чуть выше номинальных 8%. А раз эффективная ставка выше, дисконтирование под неё будет «съедать» будущую сумму сильнее, и PV получится чуть меньше.

На малых сроках разница незаметна, на длинных она набегает в проценты от итога. В точных расчётах эту разницу учитывают, особенно когда речь о банковских продуктах или облигациях с купонами раз в квартал.

Где это используется

Приведённая стоимость лежит в основе многих финансовых задач. Разберётесь в ней один раз — и дальше многие из них даются легче.

Оценка облигаций. Цена любой облигации это PV её будущих купонов плюс PV номинала. Отсюда же выводится понятие доходности к погашению.

Оценка проектов и компаний. Метод дисконтированных денежных потоков (DCF, Discounted Cash Flow), которым в фундаментальном анализе оценивают компании, целиком основан на PV. Все будущие свободные денежные потоки бизнеса приводятся к сегодняшнему дню. Это деньги, которые остаются у компании после расходов и вложений в развитие.

Сравнение разных предложений. Самое бытовое применение. Например, магазин предлагает: «можете заплатить 100 000 сразу или по 36 000 в конце каждого года в течение трёх лет». Звучит, как будто рассрочка дороже на 8 000, и это правда. Но если у вас есть возможность вложить деньги под 12% годовых, рассрочка фактически выгоднее.

Считаем PV её платежей: 36 000/1,12 + 36 000/1,12² + 36 000/1,12³ ≈ 86 466. Это меньше 100 000, которые просили заплатить сразу. То есть рассрочка в этом случае «дешевле» на 13 534 в сегодняшних деньгах, несмотря на то что номинально вы заплатите больше. Такие же вопросы возникают, когда выбирают между арендой и покупкой, между вкладами на разные сроки или оценивают кешбэк с условиями.

Что важно помнить

С PV есть несколько моментов, на которых легко споткнуться.

Результат очень чувствителен к ставке. Особенно на длинных сроках. Таблица из примера с миллионом показывает: при 5% и 20% PV миллиона через 3 года различается примерно на 285 000. А на горизонте в 20 лет даже небольшая разница в ставке сильно меняет итог. При 8% миллион стоит сегодня около 215 000, при 10% — около 149 000, почти в полтора раза меньше. Поэтому в серьёзных расчётах смотрят, как PV меняется при разных ставках, и не доверяют единственному значению.

Качество прогноза важнее точности формулы. Дисконтировать можно только те цифры, которые вы заложили на вход. Если ожидаемые поступления слишком оптимистичные, никакая идеально посчитанная PV этого не исправит. Принцип «мусор на входе, мусор на выходе» здесь работает в полную силу.

Инфляцию нельзя смешивать со ставкой. Если будущие потоки указаны в номинальных рублях (с учётом ожидаемого роста цен), нужно использовать номинальную ставку дисконтирования. Если поток в реальных рублях (то есть уже очищенных от инфляции), нужна реальная ставка. Смешивать эти варианты нельзя, иначе результат получится искажённым в одну или другую сторону.

Премия за риск это не «накрутка». Когда вы во что-то вкладываетесь, вы платите цену сегодня, а PV показывает, сколько стоят сегодня те будущие платежи, которые вы рассчитываете получить взамен. Вложение имеет смысл, когда то, что вы получите, стоит дороже, чем вы за него отдаёте.

Это проще всего понять на цифрах. Допустим, вам предлагают вложить 80 000 сегодня и через три года получить 110 000, но платёж рискованный: деньги могут вернуть не полностью. Вкладываться имеет смысл только тогда, когда PV этих будущих 110 000 окажется больше цены, то есть больше 80 000. Тогда то, что вы получите, стоит дороже того, что отдаёте.

Посчитаем честно. Раз платёж рискованный, дисконтируем под высокую ставку, скажем под 15%:

PV = 110 000 / 1,15³ ≈ 72 300

Будущие 110 000 стоят сегодня 72 300, и это меньше 80 000, которые с вас просят. Разница 72 300 − 80 000 = −7 700 называется чистой приведённой стоимостью, или NPV (от англ. Net Present Value). Она отрицательная, значит сделка убыточная, проходите мимо.

Теперь занизим ставку. Сделаем вид, что платёж надёжный, как банковский вклад, и возьмём 8%:

PV = 110 000 / 1,08³ ≈ 87 300

Те же 110 000 теперь «стоят» 87 300, а отдаёте вы по-прежнему 80 000. NPV стала положительной, около 7 300: ценности получаете на 7 тысяч больше, чем платите. Выгодно. Берём.

А теперь посмотрите, что произошло. В самой сделке не изменилось ничего: те же 80 000 на входе и те же рискованные 110 000 на выходе, с тем же шансом, что их не вернут. Сдвинулась одна цифра в вашем расчёте, ставка, и убыточное вложение превратилось в выгодное на бумаге. Будущая сумма при этом не росла, 110 000 как были, так и остались. Поднялась только PV, ваша сегодняшняя оценка этих денег.

В этом и весь подвох. Премия за риск нужна как раз затем, чтобы 110 000 оценивались в 72 тысячи, а не в 87, потому что вернуть их могут не полностью. Если выбросить её из расчёта, платёж надёжнее не станет. Вы просто нарисуете себе завышенную оценку того, что получите, и под эту красивую цифру согласитесь переплатить.

Что в итоге

Приведённая стоимость это инструмент, который позволяет сравнивать деньги из разных моментов времени, переводя их в один общий язык сегодняшнего дня. Без этой концепции невозможно ни корректно оценить облигацию, ни сравнить два инвестиционных проекта, ни даже разобраться, что выгоднее: скидка за предоплату или рассрочка.

Сама математика тут простая. Разделить будущую сумму на (1 + r)ⁿ и сложить, если платежей несколько. Сложнее выбрать правильную ставку и помнить, что результат настолько хорош, насколько хороши данные на входе.

Но если в голове уже сидит мысль, что миллион через десять лет при ставке 10% стоит сегодня около 386 000, вы уже думаете на правильном финансовом языке. Дальше только практика.