Будущая стоимость

Что такое будущая стоимость

Итак, если положить 100 000 под 10% годовых, через 20 лет на счету будет около 673 000. А если хлеб дорожает на 7% в год, то батон за 50 рублей через те же 20 лет будет стоить почти 200.

Эта математика называется будущей стоимостью (FV, от англ. Future Value

Она отвечает на вопрос: во что превратится сегодняшняя сумма через какое-то время, если она растёт с определённой скоростью? Причём «растёт» это не обязательно про вклад под процент. Точно так же считается, насколько подорожает хлеб от инфляции, насколько вырастет арендная плата за квартиру или насколько прибавит в цене недвижимость. Формула одна, меняется только то, что подставляешь в неё вместо ставки.

На бытовом уровне с FV сталкивался каждый, кто хоть раз клал деньги на вклад и видел, на сколько они вырастут к концу срока. Но между «понимать, что вырастут» и «считать FV правильно» есть большая разница, которая особенно заметна на длинных горизонтах.

Прежде чем переходить к формуле, нужно разобраться с одной развилкой. Дело в том, что проценты бывают двух разных типов, и от того, какой именно работает в вашей конкретной ситуации, зависит итоговая цифра.

Простой и сложный процент

Допустим, вы положили 100 000 на вклад под 10% годовых на три года. Сколько будет в конце? Ответ зависит от того, как именно начисляются проценты.

Простой процент работает так: процент каждый год начисляется только на исходную сумму, на так называемое «тело». Сами проценты в работу не идут.

• Год 1: 100 000 + 10% × 100 000 = 110 000
• Год 2: 110 000 + 10% × 100 000 = 120 000
• Год 3: 120 000 + 10% × 100 000 = 130 000

Получили 130 000. Простая арифметика, и ничего удивительного.

Сложный процент работает иначе: каждый следующий год процент начисляется уже на новую сумму, то есть на «тело плюс набежавшие проценты», то есть заработанные проценты сами начинают приносить проценты.

• Год 1: 100 000 + 10% × 100 000 = 110 000
• Год 2: 110 000 + 10% × 110 000 = 121 000
• Год 3: 121 000 + 10% × 121 000 = 133 100

Получили 133 100. На 3 100 больше, чем при простом проценте. Кажется, что разница небольшая. На трёх годах при таких суммах это правда. А вот на длинных сроках разница намного заметнее.

В современном финансовом мире сложный процент это, по сути, стандарт. Его используют банки во вкладах с капитализацией, его подразумевают облигации с реинвестированием купонов, на нём построены пенсионные накопления и любые долгосрочные расчёты доходности. Простой процент остался разве что в краткосрочных кредитах и в некоторых вкладах без капитализации.

Дальше под «будущей стоимостью» мы будем по умолчанию иметь в виду расчёт по сложному проценту. Если когда-то вам понадобится посчитать будущую стоимость по простому проценту, то формула такая: FV = PV × (1 + r × n)

Подставим в неё наши 100 000 под 10% на 3 года: 100 000 × (1 + 0,10 × 3) = 100 000 × 1,3 = 130 000. Те же самые 130 000, что мы получили вручную в начале раздела.

Формула будущей стоимости

Теперь обобщим расчёт сложного процента. Если присмотреться к арифметике, которую мы только что прокручивали по годам, видно одну и ту же операцию: каждый год сумма умножается на (1 + 0,10), то есть на 1,10. За три года она умножается на 1,10 три раза, то есть на 1,10³ = 1,331. Отсюда и итог 133 100.

Если эту мысль обобщить, получается короткая формула:

FV = PV × (1 + r)ⁿ

Здесь PV (Present Value) это сегодняшняя сумма, r (rate) это ставка за один период, а n (number of periods) количество периодов.

Множитель (1 + r)ⁿ называется фактором сложного процента — это и есть то, что «разгоняет» сегодняшнюю сумму до её будущего значения.

По сути, формула говорит: «возьми текущую сумму и умножь её на коэффициент роста столько раз, сколько лет проходит». Каждое умножение на (1 + r) добавляет к капиталу один годовой прирост и одновременно пускает в оборот всё, что было заработано раньше.

Считаем на примере

Вкладываете 500 000 под 12% годовых. Через сколько эта сумма удвоится? Решим в лоб, попробовав несколько сроков:

• Через 5 лет: 500 000 × 1,12⁵ ≈ 881 200
• Через 6 лет: 500 000 × 1,12⁶ ≈ 986 900
• Через 7 лет: 500 000 × 1,12⁷ ≈ 1 105 000

Удвоение случается между шестью и семью годами, ближе к шести. Если хочется быстрее прикидывать в уме, есть удобный приём, его называют правилом 72. Делите 72 на ставку в процентах, и получаете примерное время удвоения. Для 12% это 72/12 = 6 лет, что почти точно совпадает с расчётом. Правило работает с хорошей точностью для ставок от 4% до 20%, и его удобно держать в голове для быстрых оценок.

Теперь посмотрим, как меняется FV в зависимости от ставки и срока. Возьмём те же 500 000 как стартовую сумму:

Обратите внимание, что разница между 5% и 15% за 30 лет это разница в 16 раз.

Магия сложного процента

То, что таблица выше так нелинейно растёт по горизонтали (по сроку), не случайность. Это и есть знаменитый эффект сложного процента.

Суть в том, что прирост в каждый следующий год начисляется на всё большую базу. Условно: в первый год вклад в 100 000 под 10% даёт 10 000 прибыли. Во второй год прибыль уже не 10 000, а 11 000, потому что начисляется на 110 000. В третий год 12 100. И так далее. Сначала разница незаметна, но через 20-30 лет она становится огромной.

Из этой механики следует один очень практичный вывод, который многих удивляет. Проще всего показать его на примере.

Два человека, обоим по 25 лет. Первый вкладывает по 100 000 в год с 25 до 35 лет (десять лет, итого 1 миллион вложенных), потом перестаёт вкладывать вообще. Второй начинает в 35 и вкладывает по 100 000 каждый год до пенсии в 65 лет (тридцать лет, итого 3 миллиона вложенных). Оба под 10% годовых.

Кто к 65 годам окажется богаче?

Первый, при том что он вложил в три раза меньше. Просто потому, что его деньги работали на 10 лет дольше, и сложный процент успел отработать на полную. Это и есть та причина, по которой все статьи о пенсионных накоплениях кричат «начинайте как можно раньше». Каждый отложенный год съедает не маленький линейный кусочек, а огромную часть финального капитала.

Откуда брать ставку

Ставка это просто та доходность, под которую вы реально планируете размещать деньги. Если знаете точно, под сколько идёт ваш вклад или сколько даёт облигация, эту цифру и берёте.

Тем не менее есть нюансы.

Со вкладами всё прямо. Ставка на момент открытия зафиксирована, формула работает идеально. Вопросы могут возникнуть только если вклад короткий и потом надо будет переоткрывать его по новой ставке, которая на тот момент неизвестна.

С облигациями ставка это доходность к погашению на момент покупки. Но здесь снова появляется риск реинвестирования купонов: если вы их получаете и вкладываете дальше, реальная итоговая FV будет зависеть от того, под какую ставку вам удалось их разместить.

С акциями всё совсем хитро. Никакой объявленной ставки нет. Можно использовать ожидаемую доходность (например, среднюю историческую доходность рынка), но это уже не точный расчёт, а оценка. И она может разойтись с реальностью в любую сторону.

В общем, чем точнее зафиксирована доходность инструмента, тем достовернее расчёт FV. Для гарантированных вложений формула даёт буквально точный результат.

Частота начисления

Ещё одна тонкость, которая многих удивляет. Если открыть условия двух разных вкладов под одинаковые 12% годовых, то через год на одном из них денег может оказаться заметно больше. Не из-за каких-то скрытых бонусов, а просто из-за того, как часто банк начисляет проценты.

В формуле FV = PV × (1 + r)ⁿ мы предполагали, что начисление происходит раз в год. Но в реальности банки часто начисляют проценты ежемесячно, иногда ежедневно, иногда даже непрерывно. Если ставка указана как годовая, а начисление чаще, формула чуть меняется: годовую ставку делим на количество начислений в году (получаем ставку за один период), а количество лет умножаем на то же число (получаем общее количество периодов).

Разберём на примере. Ставка 12% годовых, начисление ежемесячное, срок 5 лет, сумма 500 000. Считаем по шагам:

• Ставка за один период: 12% / 12 месяцев = 1% в месяц, или 0,01 в долях.
• Количество периодов: 5 лет × 12 месяцев = 60 месяцев.

Подставляем эти значения в формулу:

FV = 500 000 × (1 + 0,01)⁶⁰ ≈ 908 348

При том же расчёте, но с годовым начислением, получалось бы 881 170, как в первом примере. Разница около 27 000, и это из-за того, что внутри года проценты успевают «работать на себя» 12 раз вместо одного.

Чем чаще начисление, тем выше итог при той же объявленной ставке. Особенно это заметно на длинных горизонтах. Поэтому, кстати, в условиях вкладов часто пишут отдельно «ставка» и «эффективная ставка» (с учётом капитализации). Эффективная это та, которую вы реально получите за год, и она выше объявленной, если в году несколько начислений.

Что съедает FV: инфляция

Есть ещё одна важная штука, которую часто упускают. FV в формуле это номинальная будущая стоимость. То есть «сколько денег будет на счёте по цифре». А вот сколько на эти деньги можно будет купить совсем другой вопрос.

Простой пример. Вы вложили 1 000 000 под 8% годовых на 20 лет. Через 20 лет у вас будет 1 000 000 × 1,08²⁰ ≈ 4 661 000. Звучит хорошо. Но если за эти 20 лет средняя инфляция была, скажем, 6% в год, то цены за тот же период вырастут в 1,06²⁰ ≈ 3,21 раза. И ваш «миллион в сегодняшних рублях» в реальности будет покупательной способностью около 4 661 000 / 3,21 ≈ 1 452 000 сегодняшних рублей.

То есть прирост реальный, но он сильно скромнее, чем номинальная цифра предполагает. Чтобы оценивать FV «честно», в долгосрочных расчётах часто используют так называемую реальную ставку: это номинальная ставка минус инфляция. В нашем примере реальная ставка примерно 8% − 6% = 2%, и тогда реальная FV миллиона за 20 лет будет 1 000 000 × 1,02²⁰ ≈ 1 486 000.

Главное правило: если хотите понять, сколько реально вы сможете купить на свои будущие деньги, либо считайте FV по реальной ставке, либо считайте по номинальной и потом «делите» на накопленную инфляцию. Смешивать эти подходы в одном расчёте нельзя.

Где это применяется

Будущая стоимость это не какая-то абстракция, о которой просто достаточно что-то слышать. Она лежит под довольно многими повседневными задачами.

Планирование цели. Знаете, сколько у вас есть сегодня, и хотите понять, сколько будет к моменту, когда деньги понадобятся. Расчёт FV даёт прямой ответ. Если результата не хватает, нужно либо увеличивать ставку (искать инструменты доходнее), либо удлинять срок, либо начинать с большей суммы. Прикинуть разные сценарии можно в нашем калькуляторе будущей стоимости.

Сравнение вкладов и облигаций. При одинаковой объявленной ставке вклад с ежемесячной капитализацией даст больше, чем вклад с ежеквартальной, а тот в свою очередь больше, чем вклад с выплатой в конце. FV позволяет считать это честно, а не «на глаз».

Пенсионные накопления. Здесь FV вообще основной инструмент. Сколько откладывать, под какую ставку, на какой срок чтобы получить нужную сумму к выходу на пенсию это всё прямые расчёты через будущую стоимость.

Оценка кредита. С точки зрения банка ваш кредит это серия будущих платежей, каждый из которых имеет свою FV. Когда банк решает, выгодно ли давать вам деньги, он по сути сравнивает FV притока (платежей от вас) с FV оттока (выданной суммы). На потребительском уровне это не очень важно, но логика именно такая.

Что важно помнить

Несколько моментов, на которых легко ошибиться при работе с FV.

Формула предполагает, что ставка фиксирована. В реальности это редкость. Если ставка может меняться (например, ключевая ставка ЦБ влияет на ваш вклад при переоткрытии или на купоны облигаций с плавающим купоном), реальная FV будет отличаться от расчётной. Для серьёзных решений на длинных горизонтах имеет смысл считать несколько сценариев: пессимистичный, базовый, оптимистичный.

Формула предполагает, что промежуточные доходы реинвестируются. Если вы получаете купоны или дивиденды и не вкладываете их, а тратите, то итог будет совсем другим. Тогда расчёт уже не FV в чистом виде, а скорее «номинал плюс простая сумма выплат». Такой вариант разбирали в статье про иммунизацию.

Налоги съедают часть результата. Доход с купонов, дивидендов, банковских вкладов в России облагается НДФЛ, и это уменьшает фактическую FV по сравнению с расчётной. На длинных сроках разница в несколько процентов в год набегает в заметные суммы. Если расчёт делается серьёзно, налоги в нём должны быть учтены.

FV это всегда оценка, а не гарантия. Даже для самых надёжных инструментов на длинных сроках всегда остаётся хвост рисков: эмитент облигаций может объявить дефолт, банк может потерять лицензию, государство может изменить правила игры. FV хороша как ориентир и инструмент планирования, но не как обещание.

Что в итоге

Будущая стоимость это базовый инструмент финансовой математики, который отвечает на вопрос «сколько превратится моя сегодняшняя сумма через N лет при заданной ставке». Формула простая: FV = PV × (1 + r)ⁿ. Но за этой простотой стоит мощный эффект сложного процента, который на длинных сроках работает как умножитель и превращает скромные суммы в значительный капитал.

Главные практические выводы простые:

Время важнее, чем кажется. Лишний год реинвестирования на длинном горизонте может стоить больше, чем добавочные взносы.

Капитализация важнее, чем кажется. Ежемесячное начисление при той же ставке даёт ощутимо больше годового.

Инфляцию нельзя забывать. Миллион через 30 лет это уже не миллион в сегодняшних деньгах, и расчёты в реальных рублях помогают видеть картину честнее.

В отдельной статье разберём, что происходит, когда деньги вкладываются не разово, а серией одинаковых платежей: ежемесячные пополнения вклада, регулярные взносы на брокерский счёт, фиксированные выплаты по аренде. Это так называемые аннуитеты, и для них есть свои формулы FV, которые сильно упрощают расчёты.